존 정리는 우리가 다른 라인으로 n 라인의 배열을 찌르면 그 존 의 총 복잡도, 그에 인접한 모든 0, 1, 2면의 집합은 O (n)이라고 말합니다. 실제 상수는 적어도 다양한 교과서에 명시된 바와 같이 6n과 같으며 증거는 합리적으로 신중한 청구 논증으로 유도됩니다.
나는 수업 시간 에이 질문을 받았으며 대답이 없습니다.
존 정리에 대한 대안적이고보다 직관적 인 증거가 있습니까?
이제 많은 사람들이 유도가 매우 직관적이며 내 의미에 의해 기분이 상할 수 있다는 것을 알고 있으며, 위의 내용을 단순히 "대체"하도록 수정하려고합니다. 그러나 그러한 증거가 있습니까? 아니면 책 의 증거 ?
답변:
이것은 더 깨끗하지는 않지만 고급 기능을위한 훌륭한 준비이며 추상화의 좋은 예입니다 ...
Davenport-Schinzel sequence 인수를 사용할 수 있습니다. 존 라인 위의 지역을 고려하십시오. 우리는 왼쪽과 오른쪽이 다른 것으로 간주하기 때문에 모든 선은 광선이되고 실제로는 두 개의 광선이됩니다. 이 영역의 경계를 왼쪽에서 오른쪽으로 스캔하여 발생한 광선을 기록하십시오. 이것은 2n 개 이상의 기호로 정의 된 시퀀스이며 패턴 abab은 불법입니다. 이와 같이, 서열의 길이는 최대 2 (2n) -1 = 4n-1이다. 선 아래의 영역에 적용하면 8n 형식의 경계가 나타납니다.
이제, n 개의 심볼의 서브 시퀀스로서 ... a..b..a..b ...가없는 일련의 심볼들이 길이가 2n-1임을 쉽게 증명할 수있다. 실제로,이 순서에서 서로 가장 가까운 동일한 문자의 두 개의 연속 된 모양을 고려하십시오. 분명히이 두 문자 사이에서 나타나는 각 문자는 고유해야합니다. 이러한 문자를 고려하여 문자열의 다른 곳에 나타나면 금지 된 하위 시퀀스를 얻게됩니다. 따라서이 문자는 문자열에서 정확히 한 번 나타납니다. 두 개의 연속 된 동일한 문자를 만든 경우이를 제거하고 필요한 경우 추가 문자를 제거하십시오. 즉, 문자열에서 문자를 제거하면 2만큼 줄어 듭니다. 따라서 문자열의 최대 길이는 2n-1입니다.
나는 유도가 매우 직관적이며 당신의 함의에 의해 불쾌감을 느낍니다. 그러나 어떤 충전 논증?
Wlog는 영역을 정의하는 선이 수평 (다른 회전)이고 선이 일반적인 위치에 있다고 가정합니다 (그렇지 않으면 교란하고 영역을 더 복잡하게 만듭니다). 다른 n 줄 중 하나를 제거하십시오. 영역이 각각 오른쪽인지 왼쪽인지에 따라 결과 영역의 가장자리를 왼쪽 또는 오른쪽 경계로 분류합니다. (일부 모서리는 왼쪽과 오른쪽 경계이지만 복잡도 범위에서 두 번 계산됩니다.) 귀납 가설에 따르면 최대 3n-3 개의 왼쪽 경계가 있습니다. (기본 사례 n = 0은 사소한 것입니다.) 삭제 된 선을 다시 삽입하면 최대 3 개의 왼쪽 경계가 추가됩니다 (하나는 선 자체에, 2 개는 오래된 왼쪽 경계를 분할하는 것). 따라서, 왼쪽 경계의 총 개수는 최대 3n입니다. 대칭 적으로 올바른 경계의 수는 최대 3n이므로 영역의 총 복잡도는 최대 6n입니다.
청구 인수에 의한 증거는 David Mount의 계산 기하학 클래스 유인물 13 페이지에있는 연습 (단계별 힌트와 함께)으로 제시됩니다. http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf