SU (3) 용 범용 게이트 세트?

양자 컴퓨팅에서 우리는 종종 일부 단일 차원 시스템에 대한 특수 단일 연산자 그룹 G가 전체 그룹 SU (d)를 정확하게 또는 심지어 SU (d)의 조밀 한 커버에 의해 제공된 근사치를 제공하는 경우에 관심이 있습니다.

d 차원 시스템 C (d)에 대한 Clifford 그룹과 같은 유한 순서 그룹은 조밀 한 커버를 제공하지 않습니다. 무한한 순서의 그룹은 그룹이 Abelian 인 경우 조밀 한 커버리지를 제공하지 않습니다. 그러나 나의 거친 직관은 Clifford 그룹의 무한한 수의 게이트와 기본 변경 작업으로 밀도가 높은 커버를 제공하기에 충분하다는 것입니다.

공식적으로 내 질문은 다음과 같습니다.

SU (d)의 하위 그룹 인 그룹 G가 있습니다. G는 무한한 순서를 가지며 C (d)는 G의 하위 그룹입니다. 그러한 모든 G는 SU (d)의 조밀 한 커버를 제공하십시오.

d> 2 인 경우에 특히 관심이 있습니다.

Clifford 그룹을 다음과 같이 정의합니다 : http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

이것은 완전한 대답은 아니지만 아마도 질문에 대답하는 방향으로 나아갈 것입니다.

이후 무한 순서를 갖지만 있지 않은 경우, 반드시 비 클 그룹 게이트를 포함한다. 그러나 에는 하위 그룹으로 가 있습니다. 그러나 경우 Clifford 그룹과 Clifford 그룹에없는 다른 게이트는 거의 보편적입니다 (예 : 정리 1 참조 ). 그러므로 그러한 모든 는 에 밀집된 커버를 제공합니다 .G C ( D ) G G C ( D ) D = 2 G S U ( 2 N$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

경우 다음 질문에 따라 여전히 질문에 연결된 표지를 사용하여 촘촘한 커버를 얻을 수 있음을 증명할 수 있습니다.$d>2$

1. 모든 게이트 가 단일 이기 때문에 모든 고유 값은 단일의 근본입니다. 단순화를 위해 실제 각도 매개 변수화합니다 .G 0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. 마찬가지로 무한 순서가 어느 적어도 하나의 값에 대한 게이트 포함 의 불합리한 배수 또는 이러한 불합리한 배수 임의로 근사치 포함 . 우리는 그러한 게이트 지정합시다 .G G θ K π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. 그런 다음이 존재 되도록 임의로 확대하는 것이지만 아이디와 같지.n g $n$$g^n$
4. 이후 단위이며 다음과 같이 작성 될 수있다 .g n exp ( − i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. quant-ph / 9802007에 정의 된대로 Pauli 그룹 은 행렬 의 기초를 형성하므로 (여기서 및 은 ([3] 기준) 중 적어도 하나는 는 0이 아닙니다.d × d H = ∑ d − 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. 그런 다음 Clifford 그룹에서 를 선택 하여 를 하여 에 매핑 합니다. 따라서 여기서 는 및 의 순열입니다 .C X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( − i C H C † ) = exp ( − i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α ' j k X j d Z k d ) ) $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$′ α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. 참고 만족 . 우리가 정의 할 .Z d Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z − ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( − i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. 베이커 - Cambel - 하우스 도르프 정리함으로써, 모든 이후 유무 임의 가까운 정체성을 이루어, 우리의 제품을 평가할 수있는 으로 첫 번째 순서로 . 위한 화합의 모든 경로에 걸쳐 합산 수율 이것은 기본적으로 분리하는 시퀀스이다. 비 대각선 요소를 분리합니다.$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. 대각선 행렬 만 지수에 남아 있으므로 는 대각선이어야합니다. 또한 에 대한 제한으로 인해 반드시 0이 아닌 비례하는 고유 값을 갖습니다 .$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. 변화시킴으로써 및 상기 방법을 반복하는 것이 발생시킬 수 있어야 선형 독립적 게이트 : 등이 비합리적 부적당 단계 또는 임의의 근사치와 함께 대각선 게이트 그들의 제품 결과 하나에.$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. 에 의해 참조 함께 클리포드 그룹과 마크 하워드의 대답이 주어진, 대략적인 보편성 충분해야한다.

나는 원래의 질문에 대한 대답은 아마도 그렇다고 생각하지만 불행히도 나는 그것을 확실히 말할 수는 없습니다. 그러나 Peter의 확장 된 질문에 대답 할 수 있습니다.

Nebe, Rains 및 Sloane의 math / 0001038에서 Clifford 그룹은 U (2 ^ n)의 최대 유한 하위 그룹임을 보여줍니다. Solovay는 또한 출판되지 않은 작업에서 "기본적으로 유한 한 단순 그룹의 분류를 사용한다"고 이것을 보여 주었다. Nebe et al. 또한 qudit Clifford 그룹은 유한 그룹의 분류를 사용하여 소수 p의 최대 유한 하위 그룹임을 보여줍니다. 이는 Clifford 그룹과 모든 게이트가 무한 그룹이므로 원래 질문의 가정 중 하나가 중복됨을 의미합니다.

Rains와 Solovay는 Clifford 그룹을 포함하는 무한 그룹이 보편적이라는 것을 보여주는 다음 단계는 비교적 간단하다고 말했습니다. 그러나 그 단계가 실제로 어떻게 작동하는지 모르겠습니다. 그리고 원래의 질문에 대해 더 중요하게, 그들이 그들이 qubit 케이스 또는 qudit 케이스만을 고려하고 있는지 모르겠습니다.

사실, 나는 Nebe, Rains, Sloane의 증거도 이해하지 못하고 싶지만 덧붙일 수 있습니다.

qudits의 텐서 제품에 작용하는 SU (3) 또는 SU (3 n ) 에 대해 묻는 것이 확실하지 않습니다 . SU (3)에 대해 묻는다고 가정하겠습니다. SU (3)에 대한 진술이 SU (3 n )에 대한 진술을 암시한다는 것은 나에게 명확하지 않습니다 (이전 버전의 답변에서 말한 내용에도 불구하고 ).$^{n}$$^n$

게이트 세트가 SU (3)의 하위 그룹에 속하지 않는 한 SU (3)의 조밀 한 커버를 생성합니다. 따라서 SU (3)의 무한 하위 그룹에 Clifford 그룹이 포함되어 있는지 확인해야합니다. 나는 그들이 확실하지 않다고 확신하지만 확실하게 말할 수는 없습니다. 다음 은 SU (3)의 모든 Lie 하위 그룹을 제공하는 수학 오버플로 질문입니다.

사이트가 영원히 고정되기 전에이 스레드를 업데이트해야한다고 생각했습니다.

다니엘의 대답은 올바른 행에 있습니다. 그가 언급 한이 "다음 단계"는 Nebe, Rains 및 Sloane의 후반부에 나오는 " 자기 이중 코드 및 불변 이론 "에 나와 있습니다.

따라서이 질문에 대한 답은 "예"입니다. 이것은 Nebe, Rains 및 Sloane의 저서에있는 Corollary 6.8.2에서 직접 따릅니다.

내가 워털루를 방문하는 동안 나에게 이것을 지적했던 Vadym Kliuchnikov에게 감사드립니다.

다음 논문에는 qudit universality를 증명하기위한 관련 구성이 포함되어 있다고 생각합니다.

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

특히, 섹션 4 의 끝에있는 의견은 제어 된 위상 C Z , 푸리에 변환 F 및 비이성적이고 비합리적인 위상을 갖는 대각 게이트 D 는 대략적인 보편성을 제공 한다고 말합니다 . (이것은 D 에서 충분한 조건 이지만 필요한 조건이 아니라고 확신합니다.)$4$$CZ$$F$$D$$D$

귀하의 경우 G가 올바른 형식이다 (대각선 게이트가 자연 선택의 여지가 보인다) 결과는 적용$G$

대안은 qudit Toffoli의 구현에 필요한 ancilla 상태를 생성하거나 G 를 Cliffords와 함께 사용 하여 Toffoli를 구현하는 것입니다. G 에 대해 더 많이 알지 못하고 이것이 가능한지 말하기는 어렵습니다 .$G$$G$