마스터 방정식 및 연산자 합계 양식

저는 양자 정보 전문가보다 양자 광학 전문가입니다. 주로 마스터 방정식을 다루고 있습니다. 나는 operator-sum 형식에 관심이 있고, 시뮬레이션하고있는 작은 양자 시스템에 대해이 형식의 오류를 도출하고 싶습니다.

캐치 : 퀀텀 시스템은 사인파 함수로 모델링 된 외부 (클래식) 필드에 의해 구동되며 댐핑 속도가 낮아서이 시간 의존성을 제거하기 위해 회 전파 근사를 만들 수 없습니다. 적분에 의해 마스터 방정식을 수치 적으로 풀어야하고, 시간 에서의 각 적분의 결과는 이러한 오류를 파악하기에 충분한 정보가 아니며, 벡터화 된 밀도에서 작동 한 수퍼 오퍼레이터 매트릭스를 복구하기 위해 약간의 작업을 수행해야합니다. 매트릭스. 즉, 마스터 방정식에 단일 항목 1과 나머지 0을 갖는 벡터화 된 밀도 행렬을 공급하고 특정 시간 τ 와 같은 행렬을 만듭니다 . 나는 올바른 길을 가고 있습니까 (위생 검사)? 더 명시 적으로, 만약 V의 전자 C$t$$\tau$ 위치에서 (1)의 하나의 엔트리와 밀도 행렬의 벡터화 (이것은 컬럼 벡터 그래서) 형태 I , J 에서, t = 0 시간에 진화 된 τ 다음 행렬 중 밀도 행렬의 벡터 형태 취할 t를 = 0 을 t = τ는 로 주어진다 M = Σ I , J의 V E C ( ρ I , J , t = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ .$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

질문 : 이 superoperator을 감안할 때 않습니다 $\mathbf{M}$ ,유용한 형태의 M 의 연산자 합계에 대한 Krauss 연산자를 어떻게 얻을 수있습니까? 즉, 해당 시스템은 qubit 또는 qutrit이고 다른 qubit 또는 qutrit입니다. 가능한 경우 각 채널에서 스핀 매트릭스의 텐서 곱 형태로 연산자 합계를 수행 할 수 있기를 원합니다.$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

사이드 질문 : IS 최 매트릭스?$\mathbf{M}$

최종 메모 : Pinja가 제안한 논문을 사용하면서 Pinja에 대한 승인을 받았습니다. 아래에 세부 사항을 채우는 답변을 직접 제공했습니다.

나는 석사 학위 논문에서 매우 유사한 문제에 대해 연구했으며 분산 환경에서 구동 큐 비트의 비 Markovian 역학을 연구했습니다. 내가 얻은 마스터 방정식이 완전히 긍정적인지 확인하는 데 관심이 있었지만 이는 문제의 한 측면 일뿐입니다. RWA를 만들지 않으면 그 질문은 매우 사소한 것으로 판명되었지만 Ref를 사용하여 몇 가지 결과를 얻을 수있었습니다. [ J Mod. 고르다. 54, 1695 (2007) ]에서, 큐 비트가 환경과 약하게 결합되어 있다는 사실을 이용한다. 나는 내 드럼을 이길뿐만 아니라 심판을 줄 것이다. 이 결과 중 일부를 제시하는 기사에 [P. Haikka와 S. Maniscalco, Phys. 개정판 A 81, 052103 (2010)] 에 도움이 될 수 있습니다.

양자 역학에 대한 Markov 프로세스  , 특히 Carlton Caves의 온라인 노트 " 완전히 긍정적 인지도, 긍정적 인지도 및 Lindblad 형식 " 으로 답변 된 참고 문헌 은 질문에 대답하는 데 도움이되는 물리적 아이디어와 수학 도구를 조사합니다.

$M$$M$$M$$M$ 전체적으로 수치로 표시됩니다.

$M$

이와 같은 질문에 "알고리즘 크랭크를 돌려서"효율적으로 대답 할 수 있다면 양자 물리학은 훨씬 덜 흥미로운 주제가 될 것입니다! :)

나는 당신이 찾고있는 것이 이것이라고 생각합니다 : Real Density Matrix . Paulis의 텐서 제품 사용을 포함하여 다양한 수퍼 오퍼레이터 표현 사이를 변환하는 레시피를 제공합니다. 결과를 이용한 상세한 양자 공정 단층 촬영 실험은 다음과 같습니다 : 양자 푸리에 변환의 양자 공정 단층 촬영 . 좀 더 일반적으로, Havel은 또한 최소한의 Kraus 표현으로 변환하기위한 알고리즘을 도출했습니다 : Lindblad, Kraus 및 Quantum Dynamical Semigroup의 Matrix 표현을 변환하는 절차 .

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

$${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$$ $${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$$ $\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

Pinja가 지적했듯이 Andersson 등의 논문. ( arXiv ) ( DOI )가 특히 유용했습니다. 이 논문은 많은 세부 사항을 다루었 고, 나는 오늘 그것을 올바르게 보려고 마침내 앉았습니다. 예를 들어, 교환 상호 작용으로 두 개의 큐 비트를 선택하여 고려중인 것의 최소 버전입니다. 시작하기 위해 마스터 방정식은 다음과 같습니다.

$$\dot\rho = \Lambda(\rho).$$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

$$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$$

문제에서 논의 된 바와 같이 벡터화 된 밀도 연산자에 작용하는 행렬로 마스터 방정식을 다루는 경우 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$$

이것은 L을 단일 행렬 방정식으로 도출 할 수있게 해주지 만 주제를 조금 벗어난 것입니다.

$L$$F$$\phi$

$$F(t) = \exp(Lt).$$

$F$$S$

$$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$$

마지막으로 멋진 부분입니다.

$$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$$

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

이것은 예상대로 종료 및 종료에 대해 시간 독립적 인 경우에 작동합니다. 시간 의존의 경우 이것이 작동하는지 확인해야합니다.