수용 전략을 갖춘 Büchi Automata

문제

하자 언어 인식하는 부치 오토메이션 수 . 우리는 가정 다음과 같은 의미에서 수용 전략을 가지고 : 함수가 의 파일럿 실행하는 데 사용할 수 있습니다 . 우리는 이것을 다음과 같은 조건으로 공식화합니다. $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
모든 및 , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
모든 에 , 에 의해 파일럿 된 런 , 즉 시퀀스 에는 무한히 많은 요소가 있습니다. $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

조건을 가정하기 위해 는 미래에 대해 추측 할 필요없이 해당 언어의 단어를 받아 들일 수 있습니다. $A$

그렇다면 에 이러한 가정 하에서 , 전이를 제거하는 것만으로 를 결정할 수 있다는 것이 사실 입니까? 다시 말해, 현재 상태와 문자에만 의존하여 항상 다음 전환을 선택할 수 있습니까? 주제에 대한 언급이 있습니까? 그런 다음 co-Büchi automata, 더 일반적으로 패리티 automata에 대해 동일한 질문을 할 수 있습니다. $A$ $A$

알려진 것

다음은 일부 결과입니다.

먼저, 를 동일한 잔차를 갖는 상태들 사이에서 비 결정적 선택으로 제한 할 수 있습니다 . 경우 실제로, 에서 인정하는 언어입니다 , 받아들이는 전략을 선택할 수 없습니다 이상의 이있는 경우, 어떤 점에서 . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

나머지 선택은 중요하므로 직관에도 불구하고 비결정론을 제거하기에는 충분하지 않습니다. 이는 잔차가 좋은 상태 (즉, 단어의 나머지가 잔차에 있음)에 무한정을 유지할 수는 있지만 무한히 많은 부치 (Büchi) 상태가 보이지 않기 때문에 단어를 거부합니다. 이것은 문제의 주요 어려움입니다. 어떤 시점에서 치명적인 실수를하지 않고 무한 실행이 잘못 될 수 있습니다.

둘째, 이면 문제가 해결됩니다 . 즉, 모든 단어가 의해 허용됩니다 . 이 경우, 플레이어 I이 입력 문자를 선택하고 플레이어 II가 전환을 선택하는 Büchi 게임으로 를 볼 수 있습니다 . 그런 다음 Büchi 게임의 위치 결정을 사용하여 Player II의 위치 전략을 추출 할 수 있습니다. 이 주장은 더 일반적인 패리티 오토마타의 경우에도 작동합니다. 이 문제의 어려움은 일부 단어가 이 아니기 때문에 발생하며,이 경우 전략 는 모든 동작을 가질 수 있습니다. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

셋째, 가정 에서 언어 2 가 결정적 Büchi 언어 클래스에 있고 상태의 자동 장치에서 목격 되었다는 증거가 있습니다 . 이는 이 정규 언어가 될 수 없음을 의미합니다. 예를 들어 이면 조건에 맞는 전략 가 존재할 수 없습니다 . $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

첫 번째 언급에 따라 전환을 제한하는 것으로 시작합니다. 우리가 할 수있는 유일한 선택은 잔여 언어에 영향을 미치지 않습니다. 우리는 최대 잔차를 가진 후계자를 취 합니다. 가 존재하기 때문에 존재해야 합니다. $\sigma$

그런 다음, 우리는 건설 다음과 같은 방법으로. 의 부분 집합 자동 장치입니다 하지만, BUCHI 상태마다 구성 요소의 표시는, 다른 모든 상태는 구성 요소에서 제거 할 수 있습니다, 우리는 싱글부터 다시 시작 . 그런 다음 설정할 수 있습니다 $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ . 가 의 결정 론적 Büchi 오토 마톤 임을 확인할 수 있습니다 . $A'$ $L$

마지막으로, 두 번째와 세 번째 말을 종합하면 게임 에서 플레이어 II의 위치 전략을 사용하여 유한 메모리 전략 얻을 수 있습니다 수락 할 때마다 수락 하면 승리합니다 . $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— 데니스
소스

전환이 제거 된 (결정 론적) 오토 마톤에 대해

를 쓰십시오 . 하자

에서 단어 수

. 그런 다음 조건

의 실행

및 수용되고, 따라서

. 반대로,

의 수용 실행은 특히

의 수용 실행 이므로

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@ 실뱅 : 어떤 전환이 제거됩니까?

— Dave Clarke

나는 당신 이 전략

사용 된 전이로 제한된 오토 마톤

라고 가정하고있다 . 문제는

가 결정적 이라는 보장이 없다는 것 입니다. 예를 들어

및

하면

는 결정적이지 않습니다.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Denis

또한 이전 작업에 대한 자세한 내용과 함께 mathOverflow에 게시하고 있습니다 : mathoverflow.net/questions/97007/… , 괜찮습니까?

— Denis

충분한 시간이 지난 후에도 답변을받지 못한 경우 일반적으로 교차 게시는 허용되지 않습니다. 이 질문에 공개 현상금이 있다고 가정하면 며칠 기다릴 것입니다. 다른 게시물을 삭제하고 며칠 안에 열 수 있습니다. (또한 다른 게시물이이 게시물에 연결되어야합니다.)

— Dave Clarke

It turns out the answer is no, some counter-examples can be found in this paper.

— Denis
소스

thx for update, but vague! what team? did they publish? plan to? how did you hear? how did they find it? is there a reason they were looking for it? is this a theoretical curiosity or connected to some bigger problem or application? etc

— vzn

see this answer for more details: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

As you pointed out, non-deterministic and deterministic Buchi automata accept different languages. The most famous 'determinization' for a Buchi automaton is given by Safra (search "Safra's construction" on web. Here's one document that comes up: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf). The procedure is quite intricate and involves transforming given Buchi automaton into a deterministic Rabin automaton (having 'accepting' F states and 'rejecting' G states: \sigma has only finitely many states in G). Safra's construction involves much more than simply removing transitions and/or usual subset construction.

— Sudeep
소스

나는 이것을 알고 있습니다. 문제는 Büchi automata의 특수 클래스, 즉 수용 전략을 인정하는 것입니다.

σ

$\sigma$ . 나는이 클래스가 결정론적인 Büchi automata 클래스와 동일한 힘을 가지고 있음을 이미 보여 주었고, 단순화 된 결정 절차를 설명했다 ( "알려진 것"섹션에서). 결론은이 클래스에 대해 훨씬 더 간단한 결정 절차가 있다는 것입니다.이 절차는 일부 전환을 제거하는 것으로 구성됩니다.

— Denis