단일 그룹에 대한 최적화의 복잡성

단일 그룹 대해 다양한 기능을 최적화하는 계산상의 복잡성은 무엇입니까 ? $\mathcal{U}(n)$

일반적인 작업, 양자 정보 이론에서 자주 발생하는 입력의 양 극대화 될 것 (또는 그 이상 차 다항식에서 )를 통해 모든 단일 행렬 . 이 유형의 최적화는 효율적으로 (아마도) 계산 가능합니까, 아니면 NP-hard입니까? (아마도 이것은 잘 알려져 있지만 일반적인 참조를 찾을 수 없었습니다) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— 마르신 코토 프 스키
소스

"다양한 함수"를 "단일 다항식"으로 제한 하시겠습니까?

— Artem Kaznatcheev

이러한 문제가 어떻게 발생하는지 잘 모르겠지만이 문제의 자연스런 고전적인 아날로그는 무엇입니까? 그 문제의 복잡성을 알고 있습니까?

— 로빈 Kothari의

1991 년 Roger Brockett의 훌륭한 논문이 있는데, 정렬과 선형 프로그래밍을 본질적으로 설명하는 형식으로 직교 행렬에 대해 표현하는 방법을 보여줍니다. 복잡성에 대한 언급은 없지만, 매우 다른 두 가지 문제가 동일한 방식으로 표현 될 수 있다는 사실은 복잡성 결정을 위해 문제 구조에 대해 무언가를 알아야한다는 것을 의미합니다 : eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat

@Artem : 예, 실제로 낮은 정도의 다항식이 가장 관련성이 있다고 생각합니다.

— Marcin Kotowski

그것은 당신이주는 정도 2 예에서

와

의 고유 분해로 귀착됩니다 . 들면 및

허미 시안의 단위

의 고유 공간함으로써 추적을 극대화하는 데 사용할 수있는

들과 정렬

; 그런 다음 고유 값 시퀀스의 내적을 최대화하기에 충분합니다.

와

가 양의 반올림

경우

사소합니다 (고유 값의 배율을 조정하기 위해 ID의 배수를 추가하여 줄일 수있는 경우). 아니면 좀 더 일반적인 경우에 관심이 있습니까? 소형 시스템에서 양자 역학에 의해 반드시 동기를 부여받지는 않습니까?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap

답변:

미안 늦었 어! 양자 컴퓨팅 이론에서, 놀랍게도 (적어도 나에게) 반정의 프로그래밍으로 축소함으로써 (고전적인) 다항식 시간으로 해결할 수있는 단일 그룹에 대한 최적화 문제의 많은 예가 있습니다.

초기 예는 다음과 같습니다. 2003 년에 2000 년부터 내 문제를 해결했습니다. Barnum, Saks 및 Szegedy 는 부울 함수 f의 양자 쿼리 복잡성 Q (f)를 보여줍니다. f : {0,1} ⁿ → {0,1 }, 2 ^n의 시간 다항식으로 계산할 수 있습니다 (즉, f의 진리표 크기). 나는 이것에 대해 생각했지만 그것을 수행하는 방법을 알 수 없었습니다. 가능한 모든 양자 쿼리 알고리즘에 대해 성공 확률을 최적화해야하기 때문에 각각 고유의 (2 ⁿ 크기) 단위 행렬 세트를 가지고 있습니다. Barnum et al. 단위 행렬과 양의 반 정규 행렬 사이의 "이중성 (duality)"을 이용하여 SDP로 감소, 소위 Choi-Jamiolkowski 동 형사상. Q (f)를 특징 짓는보다 최근의 간단한 SDP에 대해서는 Reichardt의 2010 논문 에서 음의 무게를 vers는 적법이 최적임을 보여줍니다.

이 트릭이 악용 된 또 다른 중요한 경우는 양자 대화 형 증명 시스템입니다. 직관적으로 명확하지는 않지만 2000 년 Kitaev와 Watrous 는 QIP ⊆ EXP임을 입증했습니다. 3 라운드 양자 대화 형 증거 시스템에서 발생하는 지수 크기의 단일 행렬에 대해 최적화하는 문제를 줄임으로써 단일 지수 크기의 SDP를 해결하기 위해 (다시 말해서 혼합 상태와 단일 행렬). 최근 QIP = PSPACE의 돌파구 는 특정 SDP가 NC에서 (즉, 로그 깊이 회로에 의해) 훨씬 더 잘 해결 될 수 있음을 보여주었습니다.

따라서 단일 그룹과 관련된 특정 최적화 문제가 무엇이든간에 생각보다 더 빨리 해결할 수 있다고 생각합니다.

— 스콧 애런 슨
소스

스캇! Barnum, Saks 및 Szegedy는 Choi-Jamiolkowski 동 형사상을 명시 적으로 언급하지 않았으며 이것이 이것이 그들의 구성과 어떻게 관련되는지 이해하지 못합니다. 이것에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까? 결함이있는 오라클의 경우 비슷한 결과가 가능한지 이해하려고 노력하고 있기 때문에 묻습니다.

— Joris

-3

두 개의하다 마드 행렬이 동일한 지 여부를 결정하는 것은 그래프 이소 모픽 (GI) 완전 문제입니다. Brendon McKay는이 주제에 관한 논문을 가지고 있습니다. BD McKay, Graph isomorphism을 통한 Hadamard equivalence, Discrete Mathematics, 27 (1979) 213-216 참조.

— 더순
소스

이것은 종이가 말하는 것이 아닙니다. 이 논문은

\pm 1

$\pm 1$ 행렬

— Sasho Nikolov