랜덤 그래프와 관련된 불일치의 변형

노드에 그래프가 있다고 가정합니다 . 각 노드에 또는 을 할당하려고합니다 . 이것을 구성 합니다. 우리가 할당해야 할 의 수 는 정확히 (따라서 의 수는 입니다. 설정이 주어지면, 각 노드 보고 인접 노드에 할당 된 값을 합쳐서 호출합니다. 이것은 입니다. 그런 다음 가 음이 아닌 노드 수를 계산합니다 . $n$ $+1$ $−1$ $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ $+1$ $s$ $−1$ $n−s$ $\sigma$ $i$ $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$ 문제는

를 최대화 하는 구성

는 무엇 입니까? 더 중요한 것은

관점 에서

에 제한을 줄 수

? 이 문제가 다른 사람에게 친숙해 보이는지 또는 그래프 이론에서 알려진 문제로 줄일 수 있는지 궁금합니다. 그것이 도움이된다면, 그래프는 Erdős-Renyi 유형 (예 : 가장자리 확률

, 즉 평균 정도가

증가하는 G (n, p))의 임의 인 것으로 가정 할 수 있습니다 . 주요 근심은

입니다.

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— 통행인
소스

요청한 내용이 범위 공간의 불일치 문제와 관련이 있기 때문에 제목을 변경했습니다. 그러나 그래프의 불일치와는 관련이 없습니다 (가장자리 밀도 편차에 대한

— 것임

단순 경계 : 를 무작위로 취하십시오 . . 여기서 는 꼭짓점 의 정도 이고 는 일정한 상수입니다. 따라서 입니다. 말하면 그래프이다 정규적인 후 존재 되도록 .

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov

@Suresh : 감사합니다. 그것이 컴퓨터 과학자들에게 물어 보는 것에 대해 내가 좋아하는 것입니다. 새로운 것을 배웁니다! 그렇다면 범위 공간의 불일치 문제에 대해 배울 수있는 곳은 어디입니까? (간결한 간결한 논문일까요?)

— passerby51

@ 사쇼 : 감사합니다. 어떤 이유로, 나는 방정식을 올바르게 볼 수 없습니다 (주변 텍스트와 충돌했습니다). 나는 그것을 읽고 당신에게 돌아올 것입니다. 그러나 나는 흥미로운 체제가 이고 이 가까워 질수록 문제가 더 어려워지는 것으로 언급해야합니다 . (이것은 원래의 문제에서 대칭 고려 때문입니다.) 임의의 것이 대해 그렇게 할 것이라고 생각하지 않습니다 .

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— passerby51

추측 / 희망은 또는 G (n, p)에 대해 입니다. . 에 관한 원래 게시물에서 오타를 깨달았습니다 . 미안합니다. 평균도는 아닌 증가하고 있습니다.

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— passerby51

답변:

임의 제약 조건 만족 문제 에 대한 날카로운 임계 값 , Discrete Mathematics 285 / 1-3 (2004), 301-305 에서 사용한 것과 비슷한 "두 번째 모멘트 방법"계산으로이 방법에 접근 할 수 있습니다.

평균 정도가 충분히 큰 상수 시간 과 같이 증가 할 때 ,이 접근법은 종종 만족도의 임계 값을 정확하게 찾기에 충분했습니다. 나는 그것을 조사하지 않았지만 만족스럽지 않은 인스턴스에서 만족할 수있는 조항의 일부를 보여줄 수도 있습니다. $\log n$

문제를 내 일반적인 문제처럼 보이게하려면 CNF 수식의 절을 기본으로하는 특수한 그래픽 구조를 사용하여 "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT"로 볼 수 있습니다. 그러나이 특수 구조가 최악의 경우 분석에 도움이 될 것이라고 생각하지는 않지만 절 크기가 균일하지 않고 "나쁜"할당 세트가 커지기 때문에 계산을 수행하고 계산 해야하는지 확인해야합니다. 여전히 작동합니다.

— 아브라함 D 아마
소스

이를 CSP로 보는 것은 실제로 불일치 문제로 보는 것보다 더 적합합니다

— Sasho Nikolov

감사합니다. 이것은 매우 흥미로운 것 같습니다. 내가 살펴볼 게

— passerby51

내 의견에 대해 자세히 설명하겠습니다. 첫째, 이것은 불일치와 유사하지만 물론 여러 가지면에서 다릅니다. 세트 시스템 의 시스템의 불일치는 . 하자 나타낸다. 정의는 당신이 가 얼마나 많은 세트인지 알고 불일치는 최악의 경우 가 얼마나 큰지 묻습니다 . 빠른 소개를 위해 내 서기 메모 가 도움이 될 수 있습니다. Chazelle에는 많은 세부 사항이 담긴 멋진 책 이 있습니다. $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

내 의견과 같이 일 때 쉬운 확률 론적 하한을 위해 그래프 순서가 인 그래프 사용 하면 무작위로 균일하게 선택할 수 있습니다 의 모든 시퀀스에서 ( 는 독립적이지 않지만이 경우에도 Chernoff 바운드를 증명할 수 있어야합니다). 우리는 을 가지며 Chernoff 경계에 의해 일정한 상수 . 따라서 입니다. 그래서 약간의 $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ 그것은이 한계를 달성합니다.

편집 : 당신이 사건에 관심이있는 것 같습니다 . 이전 단락과 같은 방식으로 를 무작위로 봅시다 . 대체없이 샘플링을 위해 중앙 한계 정리의 버전을 사용하면 ( 는 그래프의 꼭짓점에서 대체하지 않고 크기 의 샘플입니다 ), 는 평균을 가진 가우스처럼 행동 한다는 것을 보여줄 수 있어야합니다 및 에 대한 분산 이므로 일부 및 C 중심 극한 정리에서 에러 파라미터. 이어야합니다 $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ 취할 수 있습니다 . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

면책 조항 : 가 상수 / 작거나 이 매우 가까운 경우에만 의미가 있습니다. 또한 계산은 다소 추론 적이며 매우 신중하게 수행되지 않습니다. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— 사쇼 니콜 로프
소스

좋은 링크와 논쟁에 감사드립니다. 나는 확률 론적 논쟁을 좋아하지만, 당신의 한계에 문제가 있다고 생각합니다. 으로 설정 하면 이어야합니다 . 이것이 잘못 된 것 같습니다 : 문제에 지정된 세트에서 무작위로 균일하게 선택하면 각 에 prob가 있습니다. 되는 및 PROB한다. 의 되는 . 따라서 는 대해 음수입니다 .

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

독립적이고 엄격하게 우리가 Hoeffding 불평등 말을 사용할 수 없습니다 말할 수 없게됩니다. 그러나이 사소한 세부 사항을 무시하고 iid라고 가정하겠습니다. 그러면 경계는 에 대해 보유 . 을 얻기 위해 을 설정할 수 없습니다 .

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51

죄송합니다. 다음을 지정해야합니다. 여기 가정은 입니다. 그렇지 않으면 이것이 의미가 없으며 Berry-Esseen과 같은 강력한 것이 필요합니다. 나는 생각 본질적으로 독립적 인 것으로 가정 할 수있다

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— Sasho 니콜 로프를

@ passerby51은 확률 한계를 로 확장하기 위해 중앙 한계 정리의 정량적 버전을 사용하는 방법에 대한 스케치를 추가했습니다 .

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov