가역적 인 랜덤 보행을위한 커버 시간 및 스펙트럼 갭

가역 마르코프 체인의 커버 시간이 작 으면 스펙트럼 갭이 크다는 정리를 찾고 있습니다. 여기서 스펙트럼 갭은$1-|\lambda_2|$즉, 우리는 사슬의 가장 작은 고유 값을 무시합니다.

내가이 방향에서 찾을 수있는 유일한 결과는 FOCS 88, Broder and Karlin, Cover Time의 Bounds에서 찾을 수 있습니다. 체인의 전이 행렬은 이중 확률 적이지만 반드시 가역적 인 것은 아니며 비 주기적이라고 가정합니다. 대략적으로 말해서, 논문은 이러한 가정 하에서 커버 시간이$O(n \log n)$그런 다음 $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$이상이고 .$n^{-1}$

직관적으로, 그래프의 모든 정점을 빠르게 커버 할 수 있다면 혼합 시간이 작아야한다는 것은 매우 타당합니다. 특히, 시간 안에 그래프의 모든 정점을 커버 할 수 있다면 ? 과 같은 스펙트럼 갭을 배제 할 수 있어야합니다 .$n^2$$n^{-1000}$

작은 커버 시간과 큰 스펙트럼 갭 사이의 의미를 깨뜨리는 한 가지 가능한 장애물은 이분입니다. 이분 그래프에서 고유 값 로 작은 커버 시간을 가질 수 있습니다 . 내 질문에 따르면, 가장 작은 고유 값을 무시 하여이 문제를 무시하고 있습니다.$-1$

대략 믹싱 시간 은 정점 절반의 최악의 타격 시간입니다. 커버 시간 은 정점의 모든 하위 집합이 적중되는 중지 시간입니다. 즉, 혼합 시간보다 항상 더 큽니다. 따라서 귀하의 예는 혼합 시간 및 커버 시간 가질 수 없습니다 . $n^{1000}$$n^2$

이 직관을 정확하게하려면 혼합 시간을 고유 값 갭과 연관시키고 정점의 절반이 아닌 고정 분포의 절반 인 등 을 사용해야하기 때문에 약간의주의가 필요합니다 . Lovasz와 Winkler 의이 백서에서 시작 하여 위의 혼합 시간 버전을 제공하고 전체 변형의 표준 혼합 시간과 관련이 있습니다. $\pi$