값 테스트와 함수 계산의 복잡성

일반적으로 우리는 함수가 주어진 입력에서 특정 값을 취하는 지 테스트하는 것이 복잡하다는 것은 그 입력에서 함수를 평가하는 것보다 쉽다는 것을 알고 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• 음이 아닌 정수 행렬의 지속성을 평가하는 것은 # P-hard이지만, 그러한 지속성이 0인지 아닌지를 나타내는 것은 P에 있습니다 (이분자 일치).

• n 개의 실수 , 이러한 다항식 그 Π N 난 = 1 ( X - I ) 다음 특성 (실제로 대부분의 세트를 갖는 N 개의 실수 이러한 특성을 가질 것이다). 주어진 입력 x에 대해 ,이 다항식이 0인지 여부를 테스트 하려면 0의 집합에 n 이 있으므로 θ ( log n ) 곱셈과 비교 ( Ben-Or의 결과 )$a_1,...,a_n$$\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$$n$$x$$\Theta(\log n)$$n$위의 다항식을 평가하려면 최소한 Paterson-Stockmeyer의 n 단계).$\Omega(\sqrt{n})$

• 정렬하는 것이 필요 (도 비교 나무에 단계 Ω ( N 로그 N ) 만 사용 벤 또는의 결과에 의해 다시 실제 대수 의사 결정 나무 단계), 그러나 목록이 정렬되어있는 경우 테스트 N - 1 개 비교를 .$\Omega(n \log n)$$\Omega(n \log n)$$n-1$

다항식이 0인지 아닌지를 테스트하는 (대수) 복잡성이 다항식을 평가하는 복잡성과 동일하다는 것을 암시하기에 충분한 다항식에 대한 일반적인 조건이 있습니까?

사전에 문제의 복잡성을 아는 것에 의존하지 않는 조건을 찾고 있습니다.

( 명확화를 10/27/2010 ) 명확하게하기 위해, 상기 입력 다항식들의 일부가 아니다. 즉, 고정 함수 계열 (각 입력 크기 (비트 길이 또는 입력 수)마다 하나씩)이 주어지면 언어 / 결정 문제 의 복잡도를 비교하고 싶습니다 . { X : f n ( X ) = 0  여기서  n  은 X } 의 "크기"이며  함수 { f n } 을 평가하기가 복잡 합니다.$\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

설명 : 나는 다항식 패밀리 를 평가 / 테스트 하는 점근 적 복잡성에 대해 묻고 있습니다. 예를 들어, 고정 필드 (또는 Z 와 같은 링 )에서 "영구"는 단일 다항식이 아니라 무한 패밀리 { p e r m n : n ≥ 0 }입니다. 여기서 p e r m n 은 해당 필드 (또는 링) 위 의 n × n 행렬.$\mathbb{Z}$$\{perm_{n} : n \geq 0 \}$$perm_{n}$$n \times n$

이상 제로 및 평가를 테스트하는 것은 "거의"다음과 같은 의미에서 같은 : 당신은 의사 결정 트리 테스트 여부 일부 기약 다항식 있다고 가정 F IS 제로를. 우리는 C를 연구 하고 있으므로 평등 만 테스트 할 수 있지만 "<"는 없습니다. 이것이 문제의 두 번째 예와의 중요한 차이점입니다! 이제 일반적인 경로, 즉 거의 모든 입력에 의해 취해진 경로를 사용하십시오 (우리는 항상 " ≠ "분기를 따릅니다 ). 또한 다양한 V ( f ) 의 모든 원소의 일반적인 경로를 취하십시오 . 하자 V는 이 두 경로가 처음으로 다른 분기를 취하고있는 노드 수. h 1을 보자 $\mathbb{C}$$f$$\mathbb{C}$$\not=$$V(f)$$v$ 두 경로의 공통 프리픽스 따라 시험 할 다항식. 이후 V ( F가 ) 폐쇄, 모든 요소에 놓 V ( F ) 및 도달 V는 또한 거짓말 V ( 시간 m ) . 따라서 f ( x ) = 0 이면 h i 중 하나가 x에서 사라집니다. 우리는 힐버트의 Nullstellensatz를 h 1 ⋯ h m에 적용 하고 f g $h_1,\dots,h_m$$V(f)$$V(f)$$v$$V(h_m)$$f(x) = 0$$h_i$$x$$h_1 \cdots h_m$ 일부 다항식 g 의 서로 소가 있는지 F . 간단히 말해, 우리는 f를 계산하지 않는 동안 f ( x ) = 0을 결정할 때일부 coprime g에 대해 f g 를 계산해야합니다.$f g = h_1 \cdots h_m$$g$$f$$f$$f(x) = 0$$fg$$g$

Makowski의 "Feferman-Vaught Theorem의 알고리즘 사용"은 관련성이 있습니다. 그는 그래프에서 MSOL 정의 가능 구조를 합산하여 다항식을 정의하고 그래프가 나무 너비에 묶여있을 때 평가할 수 있음을 보여줍니다.

FPT가 아닌 테스트 / 평가의 복잡성 차이에 대해서는 별다른 언급이 없습니다. 값을 테스트한다는 것은 주어진 그래프에서 주어진 MSO2 수식이 true로 평가되도록 변수 설정이 있는지 묻는 반면, 평가에는 만족스러운 MSO2 수식 할당을 열거하는 것이 포함됩니다. 이것은 SAT 계산의 복잡성이 SAT의 복잡성과 어떤 관련이 있는지에 관한 문제와 관련이있는 것으로 보인다.

10/29 편집 또 다른 유용한 개념은 Uniform Difficult Point Property을 보는 것입니다. 이 속성을 가진 다항식은 모든 점에서 쉽게 평가하거나 거의 모든 점에서 평가하기 어렵습니다. Makowski은 슬라이드에 대한 몇 가지 참조를 제공 46-52 - http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

$q(x)$$\mathbb F_p$$p$

$\mathbb F_2[x]$$x^2=x$$\mathbb F_2$$0,1,x,x+1$$0$$1$

$\mathbb F_q$$q=p^n$$p$$n$

질문을 올바르게 이해했는지 확실하지 않지만 약간의 빛을 발산하려고합니다.

일반적으로 특정 값에서 다항식을 평가하는 것은 특히 다항식의 표현이 회로 (일부 간결한 표현)를 통해 이루어지는 경우 신원 테스트보다 쉽습니다. 그러나 평가에 사용할 수있는 무작위 식별 테스트 알고리즘 ( Schwarz-Zippel 이 가장 간단 함)이 많이 있습니다.

$n^{O(1)}$

$x_i \mapsto y^{2^i}$$\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$$y^r - 1$$r$$r$$y^a$$y^b$$y^r - 1$$r$$a - b$$r$$\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$$r$

블랙 박스 아이덴티티 테스트 알고리즘에서 더 많은 진전이있었습니다. 현재 대부분의 경우 제한 깊이 3 회로 (변수 합계의 곱의 합)에 서 있습니다. (FWIW)이 중 일부 는 내 M.Sc 논문의 3 장과 4 장 에 자세히 설명되어 있습니다. 그리고 최근 Saxena와 Seshadri 에 의해 추가 개선이 이루어졌습니다 .

$1-xy$$x$$y$$\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$$n$