나는 최근 Bernardy and Moulin의 2012 LICS 논문 ( https://dl.acm.org/citation.cfm?id=2359499 ) 을 본 후 파라 메트릭에 관심을 가지게되었습니다 . 이 백서에서는 종속 유형이있는 순수 유형 시스템에서 단항 매개 변수를 내재화하고 구성을 임의의 배열로 확장 할 수있는 방법에 대해 설명합니다.
이전에 정의 된 이진 파라 메트릭 만 보았습니다. 내 질문은 이진 매개 변수를 사용하여 증명할 수 있지만 단항 매개 변수로는 사용할 수없는 흥미로운 정리의 예는 무엇입니까? 또한 3 차 모수로 증명할 수 있지만 2 진으로 표현할 수없는 정리의 예를 보는 것도 흥미로울 것입니다 (하지만 n- 모수가 n> = 2와 동등하다는 증거를 보았지만 .kyoto-u.ac.jp / ~ takeuti / art / par-tlca.ps.gz )
답변:
일반적으로 이진 파라 메트릭을 사용하여 프로그램 동등성을 증명합니다. 한 번에 하나의 프로그램에 대해서만 이야기하기 때문에 단항 모델에서는이 작업을 수행하는 것이 부자연 스럽습니다.
일반적으로 관심있는 모든 것이 단항 속성 인 경우 단항 모델을 사용합니다. 예를 들어 최근 초안 표면 구조 유형 초안을 참조하십시오 . 여기서는 단항 모델을 사용하여 유형 건전성 결과를 입증합니다. 건전성은 하나의 프로그램의 동작에 대해 이야기하기 때문에 ( 이면 값 v : A 로 분기되거나 감소합니다 ), 단항 모델이면 충분합니다. 프로그램 동등성을 증명하려면 바이너리 모델이 필요합니다.
편집 : 나는 당신이 우리의 논문을 보면, 그것은 평범한 오래된 논리적 관계 / 실현 가능성 모델처럼 보인다는 것을 깨달았습니다. 나는 그것을 매개 변수로 만드는 것에 대해 조금 더 이야기해야합니다. 기본적으로 모델은 항등 확장 정리를 증명할 수있을 때 매개 변수입니다. 즉, 모든 유형 표현식의 경우 모든 자유 유형 변수가 항등 관계에 바인딩 된 경우 유형 표현식은 항등 관계입니다. 우리는 그것을 명시 적으로 부명 제로 증명하지는 않지만 (왜 그런지 모르겠지만 운영 모델을 수행 할 때 거의 필요하지 않습니다),이 속성은 언어의 건전성에 필수적입니다.
파라 메트릭 리티에서 "관계"와 "정체성 관계"의 정의는 실제로 이해하기에 조금 어려우며, 더 높은 종류 또는 종속 유형과 같은 멋진 유형을 지원하거나 더 멋진 의미 론적 구조로 작업하려면이 자유가 실제로 필수적입니다. 내가 아는 가장 접근하기 쉬운 설명은 Bob Atkey의 논문 초종 관계형 매개 변수에있다 .
당신이 범주 이론에 대한 좋은 식욕을 가지고 있다면, 이것은 그의 논문 Reflexive Graphs and Parametric Polymorphism 에서 Rosolini에 의해 추상적 인 방식으로 처음 공식화되었습니다 . 이후 Dunphy and Reddy가 논문 Parametric Limits 에서 개발 했으며, Birkedal, Møgelberg 및 Petersen이 도메인 이론적 파라 메트릭 다형성 모델에서 개발했습니다 .
이것은 Neel의 답변에 대한 의견이어야하지만 조금 길다. Rasmus Petersen의 힌트에 의해 나는 Møgelberg의 논문에서 다음을 발견했습니다.
Ivar Rummelhoff [36]는 다른 PCA에 대한 모델 별 자연수 인코딩을 연구했으며, 이러한 모델 중 일부에는 자연수보다 많은 인코딩이 포함되어 있음을 보여주었습니다. 따라서 이러한 모델은 파라 메트릭이 될 수 없습니다. 비록 그것을 언급하지는 않았지만, 이것은 모델마다 자연수의 인코딩이 단항 파라 메트릭이라는 것을 쉽게 보여줄 수 있기 때문에 단항 파라 메트릭 성은 이진 (관계) 파라 메트릭과는 다르다는 것을 보여준다.
인용 된 논문은 PER 모델의 Polynat입니다 .
. 더 많은 관계는 더 강력한 파라 메트릭 성을 의미하고 더 적은 기능 군이 "파라 메트릭"으로 간주 될 것이기 때문에 "진정한 파라 메트릭"이 한계에서 얻은 것임을 이해하고 각 초등 파라 메트릭은 그 근사치입니다.
이러한 부정직 한 관계는 "중앙 티룽 관계"라고도하는 "다양한 인종의 크리프 논리적 관계"로 공식화되었습니다. Jung and Tiuryn은 이러한 부정확 한 파라 메트릭 성이 람다 정의 가능성을 특성화하기에 충분 하다는 것을 보여 주었으며 O'Hearn과 Riecke는 순차적 PCF를 포함하여 프로그래밍 언어에 대한 완전 추상 모델을 특성화하기에 충분하다는 것을 보여주었습니다 . 이것들은 기본적이고 아름다운 결과입니다!
따라서 단항 모수는 실제 모수의 가장 단순하고 표현력이 가장 적은 근사치이며 이진 모수는 조금 더 좋아집니다. 당신의 질문은 "얼마나 더 낫다"? 내 인상은 그것이 훨씬 낫다는 것입니다. 그 이유는 단항 수준에서 "신분 관계"는 모든 진실 관계이기 때문에 별 의미가 없습니다. 이진 수준에서 "신분 관계"는 평등입니다. 따라서 단항에서 이진 수준으로 갈 때 매개 변수의 힘이 갑자기 뛰어납니다. 그 후 점점 더 세련됩니다.
아마도 이진 파라 메트릭 적용에 대해 읽을 수있는 가장 쉬운 논문은 Wadler 's Theorems for Free입니다! .
실제로 이진 파라 메트릭은 파라 메트릭 논문에서 가장 많이 언급되는 것이기 때문에이 질문에 약간 놀랐습니다. 최초의 레이놀즈 논문 인 "유형, 추상화 및 파라 메트릭 다형성"조차도 모든 곳에서 언급합니다. 널리 알려지지 않은 것은 단항 파라 메트릭입니다.