평면에서 삼각형 학습

나는 학생들에게 표시된 의 포인트 모음과 일치하는 삼각형을 찾는 문제를 배정했습니다 . ( 에 모든 양의 점과 음의 점이 모두 없는 경우 삼각형 는 레이블이 지정된 샘플과 일치 합니다 . 가정에 따라 샘플에는 최소한 하나의 일관된 삼각형이 허용됩니다). $m$ $\mathbb{R}^2$ $\pm1$ $T$ $T$

그들이 (또는 I) 할 수있는 최선은 시간 에서 실행되는 알고리즘입니다 . 여기서 은 샘플 크기입니다. 누구든지 더 잘할 수 있습니까? $O(m^6)$ $m$

— 아리에
소스

분명히하기 위해 : 삼각형의 꼭짓점은 컬렉션의 포인트 일 필요는 없습니다. 그리고 경계에 부정적인 점을 갖는 것이 허용됩니까?

— ex0du5

(1) 나는 문제를 오해했기 때문에 질문을 끝내기로 투표했다. 시스템에서 투표를 취소 할 수는 없지만 사실상 취소합니다. (2) O (m log m)-시간 알고리즘이 있다고 생각하지만 지금 그것을 확인할 시간이 없습니다. 아이디어는 긍정적 인 예의 볼록 껍질을 계산하고이 볼록 껍질을 스윕하여 원하는 삼각형을 형성하는 세 개의 선을 찾는 것입니다.

— 이토 쓰요시

@ ex0du5-실제로 삼각형의 꼭짓점은 샘플 포인트로 구성 될 필요가 없습니다. 경계 문제는 본질적으로 무시할 수 있습니다. [경계가 삼각형의 일부로 계산되면 경계에 음의 점이 없습니다.]

— Aryeh

@TsuyoshiIto : 비슷하게 생각하고 있었지만 삼각형 가장자리를 볼록 껍질의 가장자리와 동일 선상에 놓을 수는 없지만 삼각형은 여전히 존재합니다. 삼각형에는 여전히 볼록 껍질이 포함되어 있지만 선체의 선을 확장하고 삼각형을 찾는 것이 아닙니다. 부정적인 점을 피하기 위해 일부 정점 주위를 회전하는 선이 필요할 수 있습니다. 그렇기 때문에 선체의 정점에서 음수까지 선을 선택하는 검색 알고리즘을 사용하여 개별 검색을 유지할 수 있도록 경계의 음수에 대해 물었습니다.

— ex0du5

@ ex0du5 : 글쎄, 나는 삼각형의 가장자리가 긍정적 인 예의 볼록 껍질의 일부 가장자리와 평행하다고 가정하지 않았습니다.

— 이토 쓰요시

답변:

@TsuyoshiIto가 제안 했듯이 Edelsbrunner와 Preparata로 인해이 문제에 대한 시간 알고리즘이 있습니다. 실제로, 그들의 알고리즘은 두 점 세트를 분리하는 가능한 최소 가장자리 수를 가진 볼록 다각형을 찾습니다. 또한 대수 의사 결정 트리 모델에서보다 일반적인 문제에 대한 하한을 증명합니다 . 그러나이 하한이 삼각형 경우에 적용되는지는 확실하지 않습니다. $O(n\log n)$ $\Omega(n\log n)$

알고리즘에 대한 자세한 설명은 여기에 게시하기에는 너무 길지만 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 긍정적 인 점의 볼록 껍질로 하자 . 각 음수 에 대해 접하는 를 통과하는 선을 고려하십시오 . 이 선들은 평면을 4 개의 쐐기로 나눕니다. 하나는 를 포함합니다 . 를 포함하는 것과 반대 되는 웨지 라고하자 . 마지막으로 ( "금지 된 영역")을 모든 웨지 의 합집합이라고합니다 . 분리 삼각형은 와 구분해야합니다. $C$ $q$ $q$ $C$ $C$ $W(q)$ $C$ $F$ $W(q)$ $C$ $F$ . 모두 와 구성 될 수 시간. $C$ $F$ $O(n\log n)$

$ C $ 및 $ F $의 예

$F$ $F$ $O(n)$ $F$ $e$ $e$

자세한 내용은 원본 용지를 참조하십시오.

Herbert Edelsbrunner와 Franco P. Preparata. 최소 다각형 분리 . 정보 및 계산 77 (3) : 218–232, 1988.

— 제프
소스

$T$ $T$

$t$ $A$ $B$ $t$ $BC$ $B$ $C$

$t$

$t$
$A$ $B$ $t'$ $A$ $ABC$ $AB$ $BC$ $A$ $C$
$t'$

$O(m^2)$

— 샬라 부다
소스