이 문제의 복잡성은 무엇입니까?

편집 : 먼저 제약 조건을 잘못 정식했습니다 (2). 이제 수정되었습니다. 또한 더 많은 정보와 예제를 추가했습니다.

다른 알고리즘 문제를 연구하는 일부 동료들과 함께 우리는 다음과 같은 흥미로운 문제로 문제를 줄일 수 있었지만 복잡성 문제를 해결할 수는 없었습니다. 문제는 다음과 같습니다.

예 : 정수 $n$ 정수 $k<n$ 및 세트 $S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$ 의 $n$ 세트로부터 쌍 $\{1,\ldots,n\}$ .

질문 : { 1 , … , n } 의 각 요소 i 에 대해 크기가 k 인 집합 가 있습니까 : (1) i < n 인 경우 간격 [ i , i + 1 ] 이 일부 간격에 포함됩니다 [ s i , t i ] 는 S ' 의 쌍으로 정의되며 , (2) i , i + 1 중 적어도 하나$S'\subseteq S$$k$$i$$\{1,\ldots,n\}$
$i<n$$[i,i+1]$$[s_i,t_i]$$S'$
$i$$i+1$ 의 일부 쌍에 속합니까 ? $S'$
(2) 는 어떤 쌍의 S '에 속한다 .$i$$S'$

예
세트 은 가능한 솔루션입니다 ( n 은 짝수 라고 가정 ). { 1 , n } 쌍 은 조건 (1)을 보장하는 반면 다른 모든 쌍은 조건 (2)를 보장합니다.$\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$$n$$\{1,n\}$

비고
(I) 각 쌍에는 정확히 두 개의 요소가 포함되므로 조건 (2)를 충족시키기 위해서는 적어도 n이 필요합니다. 쌍. BTW이 전체 반환하여 사소한 2 근사치를 의미S를우리가 생각하기 때문에,| S| ≤N.$\frac{n}{2}$$S$$|S|\leq n$

(II) 문제를 보는 또 다른 방법은 사다리 의 n 사이클 세트 S 와 함께 단계 ( 아래와 같은)를 가진 사다리를 고려하는 것입니다 . 래더의 각 단계는 일부 요소에 해당하며 각 측면 모서리는 간격 [ i , i + 1 ] 입니다. 단계,주기 들 , t 대응 정확하게 쌍 { S , t는 } : 그 사이의 모든 연속적인 간격 커버 S 및 t를 , 그리고 모두에서 정지 S 및 t .$n$$S$$n$$[i,i+1]$$s,t$$\{s,t\}$$s$$t$$s$$t$
문제는 한 세트가 있는지 다음 인 의 유전율 그 조합 커버 (스텝 에지 및 측면 에지를 포함) 사다리의 모든 가장자리 사이클.$S'\subseteq S$$k$

(III) 하나의 조건 (1) 만 요구한다면, 문제는 추가적인 작은 간격과 함께 S 쌍에 의해 주어진 간격 [ s i , t i ] 에서 정의 된 일부 간격 그래프에서 지배적 인 설정 문제 에 해당 한다 . { 1 , … , n - 1 }의 각 i 에 대해 i + ϵ , i + 1 − ϵ ] . 이 문제는 일반적으로 선형 시간으로 해결할 수 있습니다 (예 : 여기 참조 ).$[s_i,t_i]$$S$$[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$$i$$\{1,\ldots, n-1\}$
마찬가지로 조건 (2)를 요구하는 경우 가장자리 커버 문제 (정점은 요소, 가장자리는 쌍임) 로 줄일 수 있으며 최대 매칭 접근법으로 다항식 시간도 해결할 수 있습니다.

그래서 내 질문은 제목에 있습니다.

이 문제가 P에 있습니까? NP- 완료입니까?

비슷한 문제에 대한 언급은 환영합니다.

이 방법으로 문제를 해결할 수는 없지만 이전 의견 중 일부는 근사 알고리즘을 고려합니다. FWIW, 나는 동적 프로그래밍을 사용하여 PTAS (poly-time approximation scheme)가 가능하다고 생각합니다. 여기 아이디어가 있습니다.

인스턴스 및 감안할 때 다음과 같이 솔루션을 구축 할 수 있습니다. 모든 ( 1 / ϵ ) 번째 정점을 표시하십시오. 각 정점으로 표시된 난 에지 모두에서, ( J , K ) 이 "기간" 전 (즉,에 대한 제약 (1)을 만족하는 난을 ) 번이 최소화 그 가장자리 선택 J 것을 하나의 최소화가 극대화 케이 . 이 2 ϵ n 모서리를 용액에 추가하십시오 .$\epsilon > 0$$(1/\epsilon)$$i$$(j,k)$$i$$i$$j$$k$$2 \epsilon n$

이 모서리는 많은 정점에 대한 유형 (1)의 제약 조건을 충족합니다. 한편 그들이 기여 인 용액에 가장자리에만 O ( ε OPT ) . 끝으로, 나머지 모든 유형 (1) 및 유형 (2) 제약 조건을 충족하는 모서리 세트를 찾는 나머지 문제에 대한 최적의 솔루션을 찾습니다.$2n\epsilon$$O(\epsilon \mbox{OPT})$

정점의 "블록"은 지금까지 추가 된 모서리에 의해 유형 (1) 구속 조건이 충족되는 연속 정점 세트로 정의하십시오. 연속 된 두 블록 사이에는 유형 (1) 제약 조건이 충족되지 않는 일련의 정점이 있습니다. ( 표시된 꼭짓점은 이미 추가 된 모서리에 의해 충족 된 유형 (1) 구속 조건을 갖기 때문에 이러한 시퀀스의 길이는 최대 입니다.) 이러한 시퀀스를 인접한 두 블록의 "이웃"이라고 부릅니다 (따라서 각 블록에는 왼쪽에 이웃과 오른쪽에 이웃).$1/\epsilon$

각 지역 내에서, 주변의 각 정점에 대해, 각 에지는 정점 스팬 최대의 거리를두고 (에지 모든 정점에 걸쳐 표시하지 않기 때문에 참조). 따라서 정점은 최대 1 / ϵ 정도 입니다. 따라서 각 이웃은 최대 1 / ϵ 정점을 가지며 최대 1 / ϵ 2 모서리를 터치 합니다. 해당 가장자리의 하위 집합을 이웃의 "구성"이라고합니다. 구성이 인접 지역의 정점에 대한 모든 유형 (1) 및 유형 (2) 제약 조건을 충족하는 경우 구성을 "유효한"것으로 호출하십시오.$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon^2$

각 블록 에 대해 , 블록의 두 이웃의 유효한 구성의 각 쌍 ( C i , C i + 1 ) 에 대해 최소 크기 F i ( C i , C i + 1 ) 모든 세트 S 라도 존재하는 경우 등) (에지에서의 에지 C I ∪ S ∪ C I + 1 만나기 유형 (블록의 꼭지점에 대한 2) 제약. 최대 2 개가 있으므로 $i$$(C_i, C_{i+1})$$F_i(C_i,C_{i+1})$$S$$C_i\cup S \cup C_{i+1}$구성, 다항식 시간 (고정 eps의 경우)으로 수행 할 수 있습니다. $2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

이제 시퀀스 을 찾아서 원래 인스턴스를 해결할 수 있습니다 . . , D의 K 유효한 구성으로, 각 지역에 대해 하나의 최소화가 σ I를 | 디 난 | + F I ( D I , D I + 1 ) , F는 내가 이전 단락에서 정의한 바와 같다. 이것은 비용의 가장자리, 모든 유효한 구성에 의해 형성 그래프에서 최단 경로를 찾는하여 수행 할 수 있습니다 | 디 난 | $D_1, D_2, .., D_k$$\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$F_i$ 각각의 구성에서 D 나 네이버 난 각 구성에 D I + 1 지역에 대한 I + 1 . (이 그래프의 크기는 O ( 2 1 / ϵ 2 n ) 이며고정 ϵ의 경우 O ( n ) 입니다.$|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$D_i$$i$$D_{i+1}$$i+1$$O(2^{1/\epsilon^2} n)$$O(n)$$\epsilon$