다른 사람들이 지적했듯이, 귀하의 질문에 대한 진술에는 특정한 기술적 어려움이 있습니다. 그것들을 똑 바르게하기 위해, 자격없이 "불확실한"이라는 용어를 사용하지 말고, 당신의 진술 T가 불확실하다고 여겨지는 공리 에 대해 명시 적으로 시작합시다 . 예를 들어, 우리가 1 차 Peano 산술의 공리 인 PA로부터 입증 할 수없는 진술 T에 관심이 있다고 가정 해 봅시다.
첫번째 고민은 "T는 사실이다"는 Tarski의 정리에 의해 1 차 산술 언어로 표현할 수 없다는 것이다. 우리는 산술적 진술의 진실을 정의하기에 충분히 강력한 복분해 이론을 연구함으로써이 문제를 해결할 수 있지만, 나는 이것이 당신의 목적을 위해 불필요하게 복잡한 경로라고 생각합니다. 나는 당신이 진실 그 자체에 관심이 없지만 가능성에 관심이 있다고 생각합니다. 즉, PA에서 T가 참이지만 입증 할 수없는 경우 T를 Godel_0으로 정의하고 PA에서 T를 입증 할 수 없지만 PA에서 "T는 입증 할 수 없음"인 경우 T를 Godel_1로 정의하면 만족할 것입니다. PA에서 T가 불가능하고 PA에서 "T는 불가능하다"는 PA에서는 불가능하지만 "PA에서는 T는 불가능하다"는 "PA에서는 불가능하다"는 PA 등에서는 불가능하다.
이것은 당신의 질문을 정확하게하기에 충분하지만 불행히도 그다지 사소한 해결책이 있습니다. T = "PA는 일관성이 있습니다." PA는 일관성이 있고, Goedel의 2 차 불완전 성 정리에 의해 PA에서 T는 증명할 수 없기 때문에 T는 사실입니다. 또한, "T는 PA에서 증명할 수있다"다소 바보 이유로 PA도 증명할 수있다 : 어떤 형태 "X가 PA에서 증명할 수있다"의 문 "X가 PA에서 증명할 수있다"때문에 PA에 증명할 수있다 하찮게 PA는 일치 "의미 "(일관되지 않은 시스템이 모든 것을 증명하므로 ). 따라서 T는 모든 n에 대한 Godel_n이지만 실제로 의도 한 질문에 도달하지는 않습니다.
우리는 그러한 사소한 것을 피하기 위해 귀하의 질문에 "패치"를 시도 할 수 있지만, 대신 귀하의 의도 된 질문이라고 생각하는 것을 해결하도록 노력하겠습니다. 암묵적으로, 나는 당신이 심리적 어려움으로 정리를 증명하는 데 필요한 논리적 인 힘을 모으고 있다고 생각합니다그것을 증명하는. 즉, "T는 X에서는 불가능하다"라는 형식의 결과로 T가 어떻게 든 우리가 이해할 수있는 능력을 넘어선 것으로 해석합니다. 이 괴물 같은 추측이 있습니다. 우리는 인간이 PA 채찍이나 ZFC 채찍을 깨뜨 리거나 그 사나운 짐승들에게 무엇을 길 들여서 그들을 길들이려 고 노력하고 있습니다. 그러나 "T는 X에서는 불가능하다"는 "T는 추론하기가 불가능하다"는 의미로 해석되어야한다고 생각하지 않습니다. 오히려 T에 대한 특정 기술적 속성, 즉 논리적 강도를 측정하는 것입니다. 그래서 당신이 우버 몬스터를 생각해 내고 싶다면, 나는 불가능한 것이 아니라 불가능한 것 등을 찾는 것이 올바른 방향이라고 생각하지 않습니다.
마지막으로, 확률이 복잡도 클래스의 분리 성과 전혀 관련이 있는지에 대한 귀하의 질문에 관해서는, 경계 산술의 특정 시스템에서 계산 불확실성과 확률 사이에는 관련이 있습니다. 이 중 일부는 Aaronson의 논문에서 언급했습니다. Cook and Nguyen의 저서 Logical Foundations of Proof Complexity 도 참조하십시오 .