최소 사이클이 이중 모서리 커버를 형성하도록 둘레

보자 . 모든 g- 사이클 세트가 G 의 이중 모서리 커버를 형성하도록 (즉, 모든 모서리가 정확히 2 개의 g- 사이클에 의해 공유 됨) 임의의 두 교차점이되도록 둘레 g 의 간단한 그래프 G 를 생성해야합니다. g 사이클은 꼭짓점이거나 가장자리이거나 비어 있습니다. 생성 된 그래프는 임의로 커야합니다.$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

세대의 방법은 그것에 임의성을 가져야하지만, 사소한 의미로는 안됩니다. 상당히 복잡한 그래프를 얻을 수 있기를 원합니다. 예를 들어, 평면에서 직사각형 격자를 상상해보십시오 . 경계 사각형의 반대쪽을 식별하면 g = 4에 대한 위의 모든 요구 사항을 충족하는 그래프를 얻습니다 . 이 그래프를 단순하게 평가합니다.$n\times m$$g=4$

그런 방법이 있습니까?

유사한 문제에 대한 언급도 인정된다.

내 반 구운 아이디어는 너무 야심적이었습니다. 아래에 참고 용으로 포함 시키지만, 지정한 거리 조건이 실제로 큰 둘레를 보장하기에 충분하지 않습니다.

큰 둘레를 갖는 임의의 큰 대칭 표면 맵이 있지만, 게시 된 존재 증명은 주로 토폴로지 또는 기하학 자체가 아닌 그룹 이론을 기반으로합니다.

즉, 어떤 정수에 대해 , D , 및 r에 되도록 1 / g + 1 / D < 1 / 2 매의 얼굴이 갖고있는 일반적인 표면지도가 g의 가장자리는 각 정점도 갖는다 D를 , 모든 비 신축 표면의 사이클이 적어도 r 모서리를 교차 합니다. 여기서 "일반적인"수단 모두 각 정점 동일한 정도를 갖는다 과 그 방향 가장자리 중 어느 쌍의 다른 가장자리를 향하는 송신 매립의 동형있다. r 설정$g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$이 구성에서 충분히 크면 그래프의 둘레가 됩니다. 예를 들어 :$g$

• Roman Nedela와 Martin Škoviera. 평면 너비가 큰 표면에 일반 맵. 유럽 ​​J. 조합론 22 (2) : 243--262, 2001.

• Jozef Širáň. 정규 그룹의 삼각형 그룹 표현 및 구성. Proc. 런던 수학. Soc. 82 (3) : 513-532, 2001.

이러한 표면 맵이 하나 있으면 커버링 공간을 구성하여 동일한 둘레와 각도를 가진 더 큰 맵을 생성 할 수 있습니다.

이러한 그래프를 생성하는 하나의 (반 구운) 방법이 있습니다. 하자 수 면 다음과 같은 특성을 가진 그래프 :$G$

• $G$$g$

• $G$$G$$g$$g$$G$

• $G$$G$$g$

$g$

$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$