꼭짓점 제약 조건을 사용하여 음수주기 찾기

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가중 가장자리와 그래프 감안할 때, 우리는 어떻게 주어진 정점 세트에 적어도 하나 개의 정점을 포함하는 음의주기를 찾을 수 있습니다 ? 감사. $\{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$

ds.algorithms graph-theory

— 톈이 쿠이
소스

이 질문은 분명하지 않습니다. 무엇, 가장자리 또는 정점에 가중치가 있습니까? 무엇

이며,

정점 또는 정점의 집합?

{V_{1}, V_{2}, \dots, V_{k}}

$\{V_1, V_2, \dots, V_k\}$

V_{1}

$V_1$

— Yixin Cao

@YixinCao 편집 해 주셔서 감사합니다 : 가장자리의 무게,

은 꼭짓점입니다.

V_{1}

$V_1$

— Tianyi Cui

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당신이 간단 할주기를 필요로하지 않는 경우, 그 강력하게 연결된 구성 요소로 (감독) 그래프를 중단하고, 주어진 정점 중 하나를 포함하는 각 구성 요소에 대해 , 구성 요소가 음의주기가 포함되어 있는지 여부를 확인합니다. 성분이없는 경우, 포함하는 음의주기가 없습니다 . 일부 구성 요소가하는 경우에, 당신은 포함하는 (단순하지 않은) 부정적인주기 찾을 수 부정적인주기의 여러 사본을 복용하고,과에주기의 일부 정점에서 해당 경로를 추가하여 . (원하는주기를 암시 적으로 나타내는 총 시간은 방향 그래프에서 음의주기를 찾는 시간과 같습니다. 예 : $V_i$ $V_i$ $V_i$ $V_i$ , I는 기억 경우). $O(nm)$

주기가 단순해야하는 경우 단일 정점 만 제공하더라도 문제가 NP- 완전하게됩니다 . (문제에 대한 해밀턴 경로를 줄일 수 있습니다 : 주어진 그래프 에서 주어진 소스 에서 주어진 싱크 까지의 해밀턴 경로를 찾으 려면 기존 모서리 가중치 -1을 제공 한 다음 두 모서리를 가진 인공 정점 을 추가하십시오 비용 에서 각각 하나 에 로부터 한 에 ). $V_1$ $S$ $T$ $G$ $V_1$ $N/2-0.01$ $V_1$ $S$ $T$ $V_1$

사이클이 정점을 반복하지만 모서리는 반복하지 않도록 허용하는 경우에도 NP가 완전하다고 생각합니다 (유사한 축소로 각 정점 를 표준 방식 으로 지정된 모서리 로 분할 ). $v$ $(v,v')$

— 닐 영
소스

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나는이 대답이 내 것보다 훨씬 낫다.

— David Eppstein

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입력 내용이 유 방향 그래프라고 가정하겠습니다. 방향이없는 경우에 이것을 수행하는 방법을 모르겠습니다.

그래프의 꼭짓점 세트의 복사본을 개 만듭니다 . 여기서 은 그래프의 꼭짓점 수입니다. 에서 각 가장자리를 교체 로 에서 이동 가장자리 원래 그래프의 복사 의 복사 의 의 모든 선택을 위해, . 또한 경우, 지정된 정점 세트 아니지만 그렇지 속하는 또한 사본 진행 에지 포함 의 복사 의 . $n$ $n$ $u$ $v$ $i$ $u$ $i+1$ $v$ $i$ $u$ $i$ $u$ $0$ $v$

확장 그래프의 사이클은 모두 원래 그래프의 사이클로 다시 투영되지만 확장 그래프의 모든 사이클에는 지정된 정점이 하나 포함되어 있습니다 (그렇지 않으면 확장 레이어를 거꾸로 갈 수 없음). 확장 된 그래프에 음의주기가 포함 된 경우 지정된 정점을 포함하는 음의주기.

— 데이비드 엡스타인
소스

원래 그래프가있는 경우

정점과

가장자리를, 새롭게 구축 그래프 것이다

정점과

가장자리. 음의주기를 찾으려면

시간 이 필요 하며 이는 꽤 큰 것 같습니다. 나는 여전히 더 나은 해결책을 기다리고 있으며 많은 감사를드립니다!

n

$n$

m

$m$

n^{2}

$n^2$

n m

$nm$

O (n^{3} m)

$O(n^3m)$

— Tianyi Cui

2

아마도 더 문제가되는 것으로 밝혀진주기는 반드시 단순하지는 않습니다. 간단한 네거티브 사이클이 필요합니까?

— David Eppstein