효율적인 범용 문제 해결사?

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알고리즘이 될 수있는 "문제"를 정의 자연수를 받아들이고 복귀 0 또는 1을 반환 적어도 하나 . 이러한 은 의 "솔루션"이라고합니다 $A$ $1$ $n \in \mathbb{N}$ $n$ $A$

"유니버설 문제 해결사"를 정의하여 문제를 받아들이고 그 해결책 중 하나를 반환 하는 알고리즘예를 들어 는 모든 자연수를 반복하고 결과가 될 때까지 입력을 실행하여 작동 할 수 있습니다 (유효한 입력에서만 정지해야 함). $U$ $U$ $1$

범용 문제 해결사에 대한 성능 한계를 탐색하고 싶습니다.

주어 보편적 해결사 및 문제, 나타내고 걸리는 시간 받아 입력시 생산 출력 $U$ $A$ $t(U, A)$ $U$ $A$

해결사 유니버설 문제 어떤 보편적 인 문제 해결사에 대한 때 "효율적"이라고 , 우리가 $U$ $V$

t (U, A) < t (V, A) + t_{V}

$t(U, A) < t(V, A) + t_V$

여기서 는 의존하지만 에는 의존하지 않습니다 $t_V$ $V$ $A$

효율적인 범용 문제 해결사가 있습니까?

편집 : "문제"와 "범용 문제 해결사"의 정의를 약간 더 우아하고 본질적으로 동등한 것으로 변경할 수 있음을 깨달았습니다. "문제"는 0 또는 1을 반환하는 입력이없는 알고리즘입니다 (중지됨). "범용 문제 해결사"는 문제를 받아들이고 결과를 반환하는 알고리즘입니다. 어느 정도 보편적 인 튜링 머신입니다

주어진 이후 올드 정의는, 새로운 정의로 줄일 수 기존의 의미에서 문제를 우리가 만들 수 있습니다 단지에 사소한 오래된 감지 보편적 인 문제 해결사 적용되는 새로운 감각의 문제 (솔버는 텍스트 위의 설명 ) $A$ $B$ $A$

새로운 의미에서 에 문제가 주어지기 때문에 새로운 정의를 오래된 정의로 줄일 수 있습니다 . 우리는 를 계산 하고 입력과 결과를 비교하는 오래된 의미의 문제를 구성 할 수 있습니다 $B$ $A$ $B$

새로운 감각의 범용 문제 해결사의 간단한 예는 단순히 입력을 실행하는 알고리즘입니다

cc.complexity-theory ai.artificial-intel

— 바네사
소스

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효율적인 범용 문제 해결사는 없습니다. 직관적으로 U는 결정 가능한 결정 문제에 대해 (거의) 최적의 런타임을 가져야합니다. Speedup 정리는 최적 알고리즘이없는 결정 가능한 결정 문제가 있다고 말합니다 (매우 가벼운 의미조차는 아닙니다). 이것을 공식화하려면 :

시간 고속화 법칙 (예를 들어 참조가 [1]))는 :마다) 계산 가능한 (슈퍼 선형 함수를 들면 decidable 세트가 존재 경우되도록 다음 대 만족 . $g$ $S$ $S \in DTIME(t)$ $S \in DTIME(t')$ $t'$ $g(t'(n)) < t(n)$

다음에서는 두 번째 정의로 작업합니다. 하자 어떤 보편적 인 문제 해결사. 이고 를 결정하는 알고리즘이라고 합시다 . 입력이없는 TM 이라고합시다 st . 런타임에 대수 과부하 가있는 TM 가 있습니다 ( 와 의 코딩은 만 다릅니다 ). 속도 향상에 의해 와 를 결정 하는 TM 가 있습니다. 따라서 입니다. $U$ $g(n)=2^{2n}$ $A$ $S$ $A_i$ $A_i = A(i)$ $\tilde U(i)=U(A_i)$ $A$ $A_i$ $O(\log i)$ $B$ $S$ $2^{ 2 TIME(B)} < TIME(\tilde U)$ $2^{TIME(B)} < TIME(\{U(A_i)\})$

하자 입력하는 것이 보편적 인 문제 해석하여야 ,이 시뮬레이션 시간의 대수를 과부하. (분명히 와 의 런타임 함수 는 제한이 없습니다.) $V$ $A_i$ $B(i)$ $A(i)$ $B(i)$

$\forall c \; \exists A_i \;\; t(U, A_i) > t(V, A_i) +c$

따라서 는 효율적일 수 없습니다. $U$

Oded Goldreich, 계산 복잡성, 개념적 관점, 정리 4.8. 4.2.1.2 장도 관련이있다.

— 루 홀라 마조 드딘
소스

훌륭한 해결책, thx!

— 바네사

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$t(U,A) < s_V t(V,A) + t_V$ $s_V$ $1$

$A$ $s_V$

— 유발 필름 러스
소스

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U

$U$

1

s_{V}

$s_V$

V

$V$

s_{V}

$s_V$

t_{V}

$t_V$

V

$V$

1

나는 어떻게 이해하지 못한다. 내가 조건 V를 추가했을 때 보편적 인 문제 해결사 인 Btw를 추가한다면, 보편적 인 문제 해결사 인 것으로 입증 될 수있는 알고리즘 만 실행함으로써 A 종속 항을 제거 할 수있다

— Vanessa