선형 독립 푸리에 계수

벡터 공간의 기본 속성은 그 벡터 공간 $V \subseteq \mathbb{F}_2^n$ 차원 $n-d$ 특징으로 할 수있는 $d$ , 존재이다 - 선형 독립적 인 선형 제약 $d$ 선형 독립적 벡터 직교 .$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

푸리에 관점에서,이 인디케이터 기능한다는 동등 의 있다 선형 독립적 인 비 - 제로 계수를 푸리에. 참고 것을 갖는 만 총 비제 푸리에 계수 있지만 그것들을 선형 독립적이다.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

이 벡터 공간 속성의 대략적인 버전을 찾고 있습니다. 특히, 나는 다음 형식의 진술을 찾고 있습니다.

하자 크기 일 . 그런 다음, 표시기 함수 는 절대 값이 이상인 선형 독립 독립 푸리에 계수 를 최대 가 있습니다.$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

이 질문은 "구조 대 무작위성"관점에서 볼 수 있습니다. 직관적으로, 그러한 주장은 모든 큰 세트가 벡터 공간과 작은 바이어스 세트의 합으로 분해 될 수 있다고 말합니다. 모든 함수 는 큰 푸리에 를 갖는 "선형 부분"으로 분해 될 수 있음 이 잘 알려져 있습니다. 계수 및 작은 바이어스를 갖는 "의사 난수 부분". 내 질문은 선형 부분에 대수의 선형 독립 푸리에 계수 가 있는지 묻습니다 .$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

다음은 반례가 아닌가?

를 x 1 , … , x 1 / ϵ 2 의 대부분 이라고하자 . 이는 크기 2 n / 2 세트의 지표 이므로 d = 1 이다. 그러나, F ( { I } ) = Θ ( ε ) 에 대한 1 ≤ I ≤ 1 / ε (2) , 당신이되도록 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ 선형 독립적 인 큰 푸리에 계수.

아마도 당신은 가끔 ... "장의 보조 정리"또는 "Talagrand의 보조 정리"라는 여기에 "레벨 1 불평등"라고 무엇을 원하는 : http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

가 평균 2 - d 이면 최소 제곱이 γ 2 - d 인 선형 독립 푸리에 계수의 수 는 최대 O ( d / γ 2 ) 임을 의미합니다 . ( 입력 의 F 2 선형 변환은 평균을 변경하지 않기 때문에 항상 선형 독립 푸리에 문자를 차수 1로 이동할 수 있습니다.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$