이론상 오류 정정 코드 사용

오류 수정 그 자체 외에 이론적으로 오류 수정 코드를 적용한 것은 무엇입니까? 나는 하드 코어 비트에 대한 Goldreich-Levin 정리 , Trevisan의 추출기 구성 및 부울 함수의 경도 증폭 (Sudan-Trevisan-Vadhan) 의 세 가지 응용 프로그램을 알고 있습니다.

오류 수정 코드의 다른 '심각한'또는 '레크리에이션'응용 프로그램은 무엇입니까?

UPD : 리드 솔로몬 코드의 목록 디코딩에 대한 재미있는 응용 프로그램 은 20 가지 질문 게임의 특정 변형 (및 보다 간단 하고 다른 변형)에 대한 솔루션 입니다.

의사 소통의 복잡성에 대한 간단한 응용 프로그램은 다음과 같습니다 (지금은 Andy Drucker가 블로그 에서 주석으로 설명합니다 ).

가정 앨리스와 밥은 문자열 주어진 및 각각, 그들 간의 해밍 거리 있는지 찾을 및 많아야이다 ( , 고정 된 상수이다). 우리는이 문제에 대한 의사 소통 복잡성 하한을 증명하고자합니다. 이 문제에 대한 결정 론적 프로토콜 은 길이가 인 두 문자열 와 의 동등성을 검사하기 위해 같은 수의 라운드를 갖는 결정 론적 프로토콜을 생성합니다. 여기서 은 에 따라 일부 상수 입니다. 왜? 의 평등을 확인하려면y x y ϵ n ϵ a b c n c < 1 ϵ $x$$y$$x$$y$$\epsilon n$$\epsilon$$a$$b$$cn$$c<1$$\epsilon$$a$및 , 앨리스와 밥의 제 문제에 대한 프로토콜을 실행할 수 및 거리 이상에 오류 정정 코드 . 평등 문제에 대한 쉬운 선형 하한이 있기 때문에, 이것은 또한 첫 번째 문제에 대한 결정적인 선형 하한을 산출합니다.C ( a ) C ( b ) C $b$$C(a)$$C(b)$$C$$\epsilon$

이론적 인 컴퓨터 과학에는 수많은 오류 수정 코드 응용 프로그램이 있습니다.

[위에서 언급하지 않은 것으로 생각되는] 고전적인 응용은 무작위 추출기 / 샘플러의 구성입니다. 예를 들어 여기를 참조하십시오 : http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs225/spring09/lecnotes/list.htm

암호화에 대한 많은 응용 프로그램이 있으며, 정보를 얻은 독자 중 하나가 정교하게 기꺼이 설명 할 것입니다. :)

새로운 응용 프로그램이 있습니다. 프레스를 뜨겁게하십시오! Or Meir의 새로운 ECCC 보고서 는 다음과 같이 요약합니다.

IP = PSPACE라고 주장하는 IP 정리 (Lund et al., and Shamir, J. ACM 39 (4))는 복잡성 이론의 주요 성과 중 하나입니다. 알려진 정리 증명은 산술 기법을 기반으로합니다.이 기법은 정량화 된 부울 공식을 관련 다항식으로 변환합니다. 다항식 사용의 기초가되는 직관은 일반적으로 다항식이 좋은 오류 수정 코드를 구성한다는 사실로 설명됩니다. 그러나 알려진 증명은 다항식 사용에 맞게 조정 된 것으로 보이며 임의의 오류 수정 코드로 일반화하지 않습니다.

이 작업에서는 일반적인 오류 수정 코드를 사용하여 IP 정리를 증명할 수 있음을 보여줍니다. 우리는 이것이 위에서 언급 한 직관에 대한 엄격한 기초를 확립하고 IP 정리에 대한 추가 정보를 제공한다고 생각합니다.

스테 가노 그래피 및 은밀한 계산 ( 여기 부터 시작 )에 근본적으로 오류 수정 코드가 필요한 일련의 논문이 있습니다. 이들은 채널에서 잡음으로 임의 분포에서 도출하기 위해 실패한 Oracle 호출을 모델링합니다.

다른 몇 가지 예 :

• 건설 -biased K 와이즈 독립 샘플 스페이스 (예 Naor-Naor, STOC'90 ). 실제로, 이들은 ECC를 두 번 사용합니다. 먼저 바이어스 샘플 공간 을 구성한 다음 k-wise 독립 공간으로 변환합니다.$\epsilon$$\epsilon$

• SODA'08의 Ailon-Liberty 에서 개선 된 빠른 무작위 차원 감소 (Fast Johnson-Lindenstrauss Transform) .

에러 정정 코드의 문제를 해결하기 위해 암호화에 사용되는 정보를 조정 앨리스와 밥 (상관) 문자열 X 및 Y 각각부터 키 K에 동의 할. (이 상황의 예로는 Alice가 X를 Bob에게 보내는 경우 시끄러운 채널에 의존하는 프로토콜이 있습니다.) 해결책은 Alice가 X를 재구성 할 수 있도록 일부 오류 수정 정보 C를 Bob에게 보내도록하는 것입니다. 물론 문제입니다. C는 적 이브에게 일부 정보를 유출하기 때문에 비밀 키를 도출하기 위해 개인 정보 증폭을 수행해야합니다. 이것은 남은 해시 렘마에 의해 보장되는 2-universal 해시 함수로 수행 할 수 있습니다.

최근 퍼지 추출기 는 잡음에 견딜 수있는 추출기의 변종으로 도입되었습니다. 입력 W에서 균일하게 임의의 문자열 R을 추출하고 입력이 유사한 문자열 W '로 변경되면 임의의 문자열 인 "지문"P를 생성합니다. P는 W 및 W '로부터 회수 될 수있다. 퍼지 추출기의 구성은 또한 오류 수정 코드에 의존합니다.

Andy Drucker는 이미 Trevisan [Tre04]의 설문 조사에서 다른 답변 에 대한 의견을 언급했지만 더 큰 글꼴로 언급해야한다고 생각합니다!

루카 트레비 산. 계산 복잡성에서 코딩 이론의 일부 응용 프로그램. Quaderni di Matematica , 13 : 347–424, 2004. http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/codingsurvey.pdf

실제로 Dana가 언급했듯이 많은 예가 있습니다.

내결함성 계산에서 오류 수정 코드는 매우 중요합니다. 비정형 결함 허용 분산 계산에 대한 Ben-Or Goldwasser와 Wigderson 완전성 이론에 의한 1988 년 논문은 오류 정정 코드를 명시 적으로 인용하지 않으면 ECC의 풍미가 있다고 생각합니다.

물론, 내결함성 양자 계산을 허용하는 "임계점 정리"는 일반적인 ECC의 양자 아날로그 인 양자 오류 정정 코드에 결정적인 방식으로 의존합니다.
( 임계점 정리에 대한 Wikipedia 기사 는 확실히 작동해야하지만 양자 오류 수정에 대한 기사 는 더 좋습니다.)

"오류 수정 코드"태그가 붙은 ECCC 논문 목록을 확인하십시오 .

이 목록을 살펴보면 오류 수정 코드와 PCP 사이에 연결이 있음을 알 수 있습니다 (이 오류를 "오류 수정 자체 이외의 응용 프로그램"으로 간주할지 여부와 PAC 학습) .

특정 실제 상황에서 오류 수정 코드가 사용되는 방법에 대한 아주 좋은 설명은 다음을 참조하십시오.

잭 H. 반 린트 (Jack H. Van Lint), M. Aigner와 E. Behrends (편집자), 미국 수학 학회, 2010 년, 컴팩트 디스크의 수학

(이 책은 독일어 원본에서 번역 된 것입니다.)

다른 응용 프로그램은 인증 코드에 있습니다. 이것은 본질적으로 메시지 변조를 감지하도록 설계된 인코딩이며 기본적으로 오류 수정에 의존합니다. 이는 노이즈 구조에 대한 가정을 세우는 경향이있는 단순한 오류 수정 이상의 것입니다.

오류 수정 코드에는 속성 테스트에 응용 프로그램이 있습니다.

• 기능적 특성 테스트 :

  • 허용 오차 테스트를 표시하는 것은 매우 어려울 수 있습니다. Fischer 및 Fortnow의 부울 속성에 대한 불내성 테스트 와 비교
  • 의사 소통 복잡성을 통한 하한 증명 : 속성 테스팅 Blais, Brody, Matulef의 의사 소통 복잡성을 통한 하한 경계 (기본적으로 ECCC는 축소의 큰 단계이므로 특성 테스트에서 약속 된 차이를 얻을 수 있음). Oded Goldreich의 이것도 참고하십시오 .
  • 속성 테스트에서 계층 정리 표시 :
  • 적응성 과 관련하여 : Canonne과 Gur의 속성 테스트를위한 적응 계층 구조 정리 . ECCC (실제로 LTC + LDC)는 쿼리 모델 계층을 속성 테스트로 "리프팅"하는 데 사용됩니다.

• 분포 테스트 : 위에서 언급 한 [BBM] 하한 방법론의 유사체는 또한 오류 수정 코드를 핵심 구성 요소로 사용합니다. Blais, Canonne 및 Gur의 통신 복잡도 감소를 통한 분포 하한 경계 테스트 .

(죄송합니다.이 논문은 제가 공동 저술 한 논문에 약간 편향되어 있습니다. 주로 논문에 익숙하기 때문입니다.)

우리는 코드 기반 공개 키 암호화 가 포스트 퀀텀 이라고 생각 합니다 . 실제로 코드 기반 암호화는 포스트 퀀텀 공개 키 체계 중에서 가장 오랜 역사를 가지고 있지만 키 크기 는 McBits의 1MB와 같이 비실용적으로 커 보입니다 .

우리는 격자 기반의 공개 키 암호화에서도 오류 수정 코드를 사용하는데, 이는 Felipe Lacerda가 언급 한 것처럼 조정 단계를 사용합니다. 실제로 포스트 퀀텀 키 교환에 가장 적합한 방법은 모듈 -LWE 체계 Kyber (격자 기반)입니다.