무작위 증분 들로네 삼각 분할 알고리즘의 최악의 경우는 무엇입니까?

나는 무작위 증분 들로네 삼각 분할 알고리즘 의 예상 최악의 런타임이 ( 계산 기하학에 주어진 ) 것을 알고 있습니다. 최악의 런타임이 임을 암시하는 연습이 있습니다. 실제로 이것이 사실이지만 지금까지 성공하지 못한 예를 만들려고했습니다.$\mathcal O(n \log n)$$\Omega(n^2)$

이러한 시도 중 하나는 단계 에서 점 을 추가 할 때 약 모서리가 생성 되는 방식으로 점 세트를 정렬하고 정렬하는 것이 습니다.$p_r$$r$$r-1$

또 다른 방법은 점-위치 구조를 포함 할 수 있습니다. 단계에서 점 을 찾기 위해 점-위치 구조에서 취한 경로가 가능한 한 길도록 점을 배열하십시오 .$p_r$$r$

그럼에도 불구하고,이 두 가지 접근법 중 어느 것이 올바른지 (아마도) 확실하지 않으며 힌트를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 방법은 다음과 같이 공식화 할 수 있습니다.

허락하다 $P$ 임의의 집합이다 $n$ 포물선의 긍정적 인 지점에 포인트 $y=x^2$; 그건,

$$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$$ 양의 실수로 $t_1, t_2, \dots, t_n$. 일반성을 잃지 않으면 서이 점들이 증가하는 순서로 색인화되었다고 가정하십시오.$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$.

주장 : 들로네 삼각 분할에서$P$가장 왼쪽 지점 $(t_1, t_1^2)$ 다른 모든 지점의 이웃입니다 $P$.

이 주장은 새로운 포인트를 추가한다는 것을 의미합니다 $(t_0, t_0^2)$ 에 $P$ 와 $0 < t_0 < t_1$ 추가 $n$들로네 삼각 분할의 새로운 가장자리. 따라서 유도 적으로, 우리가 들로네 삼각 분할을 점진적으로 축소하면$P$오른쪽에서 왼쪽 순서로 점을 삽입하면 생성 된 들로네 가장자리의 총 수는$\Omega(n^2)$.

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우리는 다음과 같이 주장을 증명할 수 있습니다. 실제 가치$0<a<b<c$, 허락하다 $C(a,b,c)$ 점을 통해 고유 한 원을 나타냅니다 $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$.

렘마 : $C(a,b,c)$ 포인트가 없습니다 $(t,t^2)$ 어디 $a<t<b$ 또는 $c<t$.

증명 : 네 가지 점을 상기하십시오.$(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ 다음과 같은 경우에만 원형입니다

$$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$$ 따라서 포인트 $(t,t^2)$ 동그라미에있다 $C(a,b,c)$ 만약에 $$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$$ (예를 들어 Wolfram Alpha에 문의) 확장 및 인수하기는 어렵지 않습니다. $4\times4$ 다음과 같은 형태로 결정하십시오. $$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$$ 그러므로, $(t,t^2)$ 에 거짓말 $C(a,b,c)$ 만약에 $t=a$, $t=b$, $t=c$또는 $t=-a-b-c < 0$. 또한, 때문에$0<a<b<c$,이 네 가지 뿌리는 별개이며 포물선이 실제로 교차한다는 것을 의미합니다 $C(a,b,c)$그 네 지점에서. 그것은 다음과 같습니다$(t,t^2)$거짓말의 내부 $C(a,b,c)$ 만약에 $-a-b-c<t<a$ 또는 $b<t<c$.$\qquad\Box$