나무의 NP-hard 문제

일반 그래프에서 NP-hard로 알려진 여러 최적화 문제는 입력 그래프가 트리 일 때 다항식 시간 (일부 선형 시간에서도)으로 쉽게 해결할 수 있습니다. 예로는 최소 정점 커버, 최대 독립 세트, 하위 그래프 동형이 있습니다. 나무에 NP-hard로 남아있는 자연 최적화 문제를 언급하십시오.

표준 참조 에서 나무로 제한되어 있어도 어려운 그래프 문제의 "자연"및 "잘 알려진"예제를 찾을 수 있습니다 . 예 :

• 적분 케이 -multicommodity 흐름 ,
• 일반적인 포함 된 하위 트리 ,
• 공통 서브 트리 .

(이것들은 트리 문제로 공식화되었지만 임의의 그래프로 일반화 할 수 있습니다. 그런 다음 위의 공식은 입력을 나무로 제한 할 때 특별한 경우로 얻습니다.)

트리에서 어려운 문제를 생성하기위한보다 일반적인 레시피 : supersequences , superstrings , substrings 등과 관련된 NP-hard 문제를 해결 한 다음 문자열을 레이블이 지정된 경로 그래프로 다시 해석하십시오. 그런 다음 일반 그래프 (하위 pose 그래프 부, 하위 문자열 ≈ 하위 그래프)와 유사한 질문을 제시하십시오. 그리고 우리는 나무와 길에서도 문제가 NP-hard라는 것을 알고 있습니다.

부분 집합 합계 문제를 줄임으로써 가중치 별에 어려운 문제도 많이 있습니다. 자연스러운 예는 다음과 같습니다.

• 두 여행객 TSP : 에지 가중 된 그래프 주어진 와 한계 W 우리가 폐쇄 산책 두 찾을 수, C 1 과 C 2 에서 G 각 거리가 최대 총 중량을 갖도록 W를 , 그리고 각 노드 G는 에 의해 덮여 적어도 하나의 산책?$G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

다시 말하지만, 다양한 테마를 쉽게 찾을 수 있습니다.

트리 정점이 개별 그리드 포인트에 배치되고 트리 에지가 그리드 에지에 배치 된 상태에서 트리를 2 차원 정수 그리드에 삽입 할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 NP- 완료입니다.

예를 들어 Gregori, IPL 1989를 참조하십시오 .

그룹 스타이너 문제는 좋은 예입니다. 이 문제에 대한 입력은 방향성 에지 가중 된 그래프 과 정점 k 개의 그룹 S 1 , S 2 , ... , S K . 목표는 각 그룹에서 하나 이상의 정점이 포함 된 최소 가중치 트리를 찾는 것입니다. G가 별인 경우에도 Set Cover 문제가 특별한 경우임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, 문제는 내부에 근접하기 어렵다 O ( 로그 N ) P = NP 않는 인자. 또한 Halperin과 Krauthgamer는이 문제가$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$NP가 준 다항식 시간 알고리즘을 무작위 화하지 않는 한고정 ϵ > 0에 대한 O ( log 2 − ϵ n ) 계수(정확한 설명은 논문 참조). Garg, Konjevod 및 Ravi의 나무에는 O ( log 2 n ) 근사가 있습니다.$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

트리에서 가장 어려운 문제 중 하나는 최소 대역폭 문제입니다. 그것은 인 또한 모발 길이 1 원형 애벌레 NP-어렵다 3. 최대치의 나무 -hard.$NP$

참고 문헌 :

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S.Johnson 및 Donald E. Knuth. 대역폭 최소화를위한 복잡성 결과. SIAM J. Appl. 수학, 34 (3) : 477-495, 1978.

버크 하르트 모니 엔. 모발 길이가 3 인 애벌레의 대역폭 최소화 문제는 NP- 완료입니다. SIAM J. Algebraic Discrete Methods, 7 (4) : 505-512, 1986.

W. Unger. 대역폭 문제의 근사치가 복잡합니다. FOCS에서, 페이지 82–91, 1998

비가 중 에지 multicut 문제는 다음과 같다 : 무향 그래프 주어 의 정점의 쌍의 컬렉션 G 및 양의 정수 K 서브 세트가 있다면, 검색 S 최대의 유전율 의 가장자리 G 제거 단절을 모든 쌍 컬렉션의 정점.$G$$G$$k$$S$$k$$G$

이 문제는 별 [ 1 ]의 NP-hard (및 MAX SNP-hard)입니다 .

[ 1 ] Garg, Vazirani 및 Yannakakis, 나무의 적분 흐름 및 다중 절단을위한 원시 이중 근사 알고리즘 , Algorithmica, 18 (1), pp 3-20, 1997.

소방관 문제는 최근 상당한 주목을 받았으며, 최대 3 도의 나무에서 (어쩌면 놀랍게도) NP-hard입니다 . 실제로 다음과 같이 상당히 자연스러운 질문입니다.

불은 나무의 뿌리 (또는 더 일반적으로 그래프의 지정된 정점)에서 발생합니다. 모든 단계에서 소방관은 불타 지 않는 하나의 정점을 보호하고 그 후에 불은 보호되지 않은 모든 이웃에게 퍼집니다. 불 옆에 보호되지 않은 정점이 없으면 프로세스가 종료됩니다. 최대 개의 정점이 타는 소방관을위한 전략이 있습니까?$k$

또는 변형, NP-hard : 잎이 타지 않는 소방관을위한 전략이 있습니까?

나무에서는 어렵지 않다고 생각할 수있는 문제는 계산 기하학 의 동결 태그 문제입니다 . 간단히 말해서, 단일 깨어있는 '봇 (bot)'으로 시작하는 로봇의 깨우기 예약 문제입니다. 여기서 makepan은 비용 측정치입니다.

가중치 별 그래프에서 NP-hard 인 것으로 알려져 있습니다. 그러나 비행기에서 문제가 NP-hard인지 여부는 열려 있습니다. NP-hardness는 'tree-ness'가 아니라 '임의적 metric'-ness에서 나온다고 주장 할 수 있지만 스타 그래프는 제한된 측정 공간 만 제공합니다.

트리 , k 레벨 ϕ 에서 V ( T ) 의 파티션 ϕ : V ( T ) → { 1 , … , k } (즉, T의 가장자리 는 인접한 레벨 i 및 i + 1의 정점을 연결 함 ) 및 정수 K . 교차 숫자가 최대 K 가되도록 레벨 내부의 정점을 치환 할 수 있습니까 ?$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

이 문제는 NP- 완료이며 Martin Harrigan과 Patrick Healy, -$k$ Level Crossing Minimization Is NP-Hard for Trees , WALCOM 2011, LNCS 6552, pp. 70-76에 의해 입증되었습니다.

제국 채색은 나무에 NP가 딱딱합니다.

하자 및 S는 양의 정수를 고정하고,하자 G는 그 정점 세트 블록 (또는 제국)로 분할되어 각각 함유 정확하게 그래프 수 r에 정점. $r$$s$$G$$r$ -colouring 문제 들 - COL의 R은 그래프의 정점 착색 요청 G 최대 사용 의 색상, 결코 반대로 다른 제국에 인접한 정점 동일한 색상을 할당하지 않고, 할당 동색 인접성을 무시하고 동일한 제국의 모든 정점에.$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

McGrae와 Zito, Empires는지도 제작을 어렵게 만듭니다. 제국 채색 문제의 복잡성 LNCS 6986 (2011) 179–190은 나무의 경우 - COL r 이 NP-hard$s$$\text{COL}_r$ ( s의 다른 양수 값에 대해 다항식 시간으로 해결할 수 있음)$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

네트워크의 흐름은 각 노드에서 최대 하나의 발신 아크를 사용하는 경우 합류합니다. 나무에서 최대 합류 흐름을 결정하는 NP- 경도 (직경 4, 다중 싱크 허용)는 D. Dressler and M. Strehler, 정전 식 합류 흐름 : 복잡성 및 알고리즘, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

최대 리프 레이블이있는 동형 하위 트리 . 입력이 세트이다 리프 분류 트리 (내부 노드는 라벨링되지 않는다). 용액은 트리 인 T 각 트리가되도록 T 1 ∈ T S는 다음 T가 의 하위 트리 동형 T 1 . 최적의 솔루션은 T 의 잎 수를 최대화하는 솔루션입니다 .$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

문제는 모든 입력 트리가 제한되지 않은 경우에만 NP-hard입니다 (실제로 근사하기는 어렵습니다).

간단한 그래프의 조화로운 채색은 각 정색 쌍이 최대 한 가장자리에 함께 나타나는 적절한 정점 채색입니다. 그래프의 조화로운 색수는 그래프의 조화로운 채색에서 가장 적은 수의 색상입니다. Harmonious Chromatic Number를 찾는이 문제는 Edwards와 McDiarmid에 의해 나무에서 NP- 완전한 것으로 나타났습니다 . 실제로, 그들은 반경 3의 나무들에 대해 문제가 NP- 완전 상태로 남아 있음을 보여줍니다.

TRP (Traveling Repairman Problem)는 가중 트리에서 NP-hard 인 것으로 알려져 있습니다. 최소 대기 시간 문제라고도하는이 문제에서 목표는 평균 대기 시간을 최소화하면서 그래프의 모든 정점을 방문하는 둘러보기를 찾는 것입니다. 정점 의 대기 시간은 출발지부터 투어 방문까지의 투어 비용입니다.$u$.$u$

관련 (더 유명한) TSP 문제에서 목표는 평균 대기 시간이 아닌 최대 값을 최소화하는 것입니다. TRP는 일반적으로 더 복잡한 문제로 간주됩니다 (실제로 TSP는 트리 메트릭의 경우 P입니다).

나무의 NP- 경도는 ISCO 2002의 RA 시터 "가중 된 나무의 최소 대기 시간 문제는 NP- 하드"에 표시되었습니다.

Graph Motif는 최대 3 도의 나무에서 NP- 완전한 문제입니다.

펠로우, 페르 틴, 헤르 멜린, 비아 레트, 정점 색 그래프에서 연결된 모티프를 찾기위한 날카로운 추적 가능성 경계선 컴퓨터 과학 강의 노트, 2007 년, 볼륨 4596/2007, 340-351

프로젝트의 일부로 살펴본 (매우 일반적인) 문제가 있습니다.이 문제의 변형은 두 개의 정점과 단일 모서리가있는 그래프에서도 NP-hard로 유지되며 다른 변형은 트리에서 NP-hard입니다. 첫 번째 변형의 NP- 경도는 그래프의 모양에서 비롯된 것이 아니기 때문에 두 번째 변형은 아마도 더 흥미로울 것입니다.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

당신은 라우팅 할 모든 다운로드를 필요로 대신 다운로드의 filesizes의 합을 극대화하기 위해 노력하지 않으면 된다 쉽게이 문제에 집합-합을 줄일 수 있습니다 라우팅을 : 당신은 공백, 방대한 양의 단일 서버가 서브 세트 합계 인스턴스의 목표 값과 동일한 용량의 에지를 사용하여 서버에 연결된 단일 클라이언트 및 서브 세트 합계 인스턴스의 모든 정수에 대해 동일한 크기의 파일을 작성합니다. 그런 다음 클라이언트는이 모든 파일을 다운로드하려고합니다.

이 질문에 대한 더 흥미로운 변형은 용량을 초과하는 모서리 수를 최소화하려고하는 경우입니다-아마도 우리가 대서양 횡단 인터넷 케이블을 모델링하고 케이블을 교체하는 네트워크가 너무 비싸서 2 배 빠른 업그레이드 비용과 3 배 빠른 업그레이드는 무시할 만하다. 또한 서버에서 파일의 배치는 이미 제공되었고 수정할 수 없으므로 라우팅 문제 만 살펴 봅니다.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

클라이언트는 모든 서버 클러스터에 대해 고유 한 파일이 필요하므로 클라이언트를 서버 클러스터에 연결하는 에지는 이미 용량의 한계에 있습니다 (용량은 1, 파일의 크기는 1). 클라이언트가 클러스터에서 유니버스의 요소를 다운로드하면 해당 클러스터에 연결되는 에지가 오버로드됩니다. 우리는 최소화해야합니다숫자오버로드 (및 용량을 초과하지는 않음)의 경우 클라이언트는 해당 서버 클러스터에서 호스팅되는 유니버스의 나머지 요소 (해당 하위 집합의 나머지 요소)를 페널티없이 다운로드 할 수 있습니다. 따라서 선택한 하위 집합에 해당합니다. 클라이언트는 유니버스의 모든 파일을 한 번 다운로드하기를 원하므로 유니버스가 실제로 적용되며 오버로드되는 가장자리 수를 최소화하려면 선택한 하위 집합 수를 최소화해야합니다.

위의 구성은 트리 그래프를 생성하므로 트리의 NP-hard 문제의 예입니다.

분리 할 수없는 흐름 문제. 실제로 UFP는 단일 가장자리 (백팩)에서도 단단합니다.

$G(V, E)$$NP$

공식적으로 문제는 다음과 같습니다.

분할 그래프 ISOMORPHISM

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

NP- 완전성 칼럼은 출판되지 않은 그레이엄과 로빈슨의 원고 "동형 분해 IX : 짝수 나무"를 인용합니다.

DS Johnson, NP- 완전성 칼럼 : 지속적인 가이드, Journal of Algorithms 3 (1982), 288–300

어쨌든 나는 마지막 대답에서 Achromatic Number 문제를 놓쳤지만 이것은 내가 아는 가장 자연스러운 문제 중 하나입니다.

그래프의 완전한 채색은 모든 색상 클래스 쌍 사이에 가장자리가 있도록 적절한 채색입니다. 착색은 조화 컬러링 달리 언급 될 수있는 적절한 착색 등이 나타날에 색상 각 쌍의 적어도 하나의 에지. 또한, 그것은 도당에 대한 완전한 (또는 완전한) 동질성으로 언급 될 수있다. Achromatic Number 문제는 그래프의 완전한 채색에서 가장 많은 수의 색상 클래스를 찾는 최대화 문제입니다.

Yannakakis와 Gravil은이 문제 가 이분 그래프의 보완에서 NP-hard 라는 것을 증명했습니다 . Cairnie와 Edwards는 그 결과를 확장 하여 나무 에서 문제가 NP- 완전 임을 보여 주었다 .

근사 알고리즘 [ 3 , 4 , 5 ] 분야에서이 문제에 대해 많은 연구가 이루어졌다 .

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

나무에 NPC 회로가 있습니까?. 트리 내부 정점은 OR / AND 게이트로 표시됩니다. 잎은 입력입니다. 회로가 True로 평가할 만족스러운 입력 세트가 있는지 확인하십시오.

$2^k - 1$