비 구조적인 알고리즘 존재 증명이 있습니까?

특정 복잡성으로 해결할 수있는 것으로 입증되었지만 실제로는이 복잡성에 도달하는 알려진 알고리즘이없는 문제에 대한 참조가 발생했을 수 있습니다.

나는 이것이 어떻게 일어날 수 있는지 내 마음을 감싸는 데 어려움을 겪는다. 알고리즘의 존재에 대한 비 구조적 증거가 어떻게 보이는지.

실제로 그러한 문제가 있습니까? 그들은 실질적인 가치가 있습니까?

기능을 고려하십시오 ( 여기 에서 취함 )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

외관에도 불구하고 는 다음과 같은 주장으로 계산할 수 있습니다. 어느 한 쪽$f$

1. $0^n$ 마다 발생 또는$n$
2. 가 되도록 발생하지만 하지 않는다.0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

우리는 (아직)인지 모르겠지만, 우리는 알고 와$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ 이고
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ 입니다.

이후 , 계산할 수있다 -하지만 우리는 무엇을 말할 수 없다 것입니다. f $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

이것은 정확히 당신이 의미하는 것은 아니지만 Seth Pettie와 Vijaya Ramachandran의 최적의 최소 스패닝 트리 알고리즘 은 어떤 의미에서 비 구조적입니다.

선형 ( ) 시간으로 최소 스패닝 트리를 계산하는 결정 론적 알고리즘이 있는지 여부는 공개적인 질문 입니다. Pettie와 Ramachandran은 이러한 알고리즘이 존재하는 경우 선형 시간으로 MST를 계산하는 알고리즘을 설명 합니다 .$O(n+m)$

직관적으로, 그들의 알고리즘은 MST 문제의 vertex 인스턴스를 선형 시간에 정점이있는 작은 인스턴스로 줄입니다 . 여기서 . 그런 다음 무차별 대입 계산을 통해 vertex 그래프 의 최소 ​​스패닝 트리를 계산 하는 최적 비교 트리 를 계산합니다 . 이것에 quintuply 지수 시간 걸려도 만있어, 시간. 마지막으로이 최적의 의사 결정 트리를 사용하여 작은 인스턴스를 해결합니다.O ( n / k ) O ( k ) k = O ( 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 n ) k k O ( 로그 로그 n $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$$O(\log\log n)$

즉, Pettie와 Ramachandran은 최적의 MST 알고리즘을 구성하는 알고리즘을 구성하여 간접적으로 만 최적의 MST 알고리즘을 구성합니다.

다음은 두 가지 예입니다.

1. Robertson-Seymour 정리를 사용 하는 일부 알고리즘 . 정리에 따르면 각 경우에 대해 유한 방해가 발생하지만 그러한 유한 집합을 찾는 방법은 제공하지 않습니다. 따라서 알고리즘이 존재 함을 증명할 수는 있지만 알고리즘의 명시 적 진술은 우리가 찾는 방법을 모르는 유한 방해 세트에 따라 달라집니다. 다시 말해, 우리는 알고리즘이 있다는 것을 알고 있지만, 알고리즘을 찾는 방법을 아직 모른다.

2. 비록 덜 자연 스럽지만 본질적으로 PEM 또는 유사한 비 구조적 공리를 사용하는 것이 더 강력한 예입니다. 이는 알고리즘의 구성 적 존재가 비 구조적 공리 ( Brouwer의 약한 반대 사례 와 유사 함)를 암시한다는 것을 의미한다는 점에서 더 강력합니다 . 이러한 예는 우리가 지금 명백한 알고리즘 (또는 알고리즘을 찾는 알고리즘 적 방법)을 알지 못했을 뿐 아니라 그렇게 할 희망이 없기 때문에 더 강력합니다 .

   예를 들어, PEM 을 사용 하여 알고리즘이 존재 함을 증명할 수 있지만 알고리즘을 찾는 방법과 구성 방법 중 어느 것이 비 구조적 공리를 암시하는지 알 수 없습니다. 간단한 예를 들어 보겠습니다.

   정지 문제는 각 고정 튜링 기계 에 대해 사소하게 결정 가능 합니다 (각 TM이 정지 또는 정지하지 않으며 각 경우에 정답을 출력하는 TM이 있음). 그러나 해결하지 않고 문제를 올바르게 해결하는 알고리즘을 어떻게 찾을 수 있습니까? 정지 문제의 균일 한 버전?

   더 공식적으로, 우리는 TM 주어진 것을 건설적으로 증명할 수 하는 TM이 의 정지 문제를 결정 . 보다 공식적으로 다음 진술은 건설적으로 입증 될 수 없습니다.H T$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   여기서 는 코드 가있는 TM (일부 고정 된 TM의 표현)이며, 는 정지 및 는 가 멈추지 않음을 의미 합니다.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

예.

(1)의 어느 시점에서, 유한 도메인 크기, Cai, Chen 및 Lu에 대한 복소 가중 카운팅 그래프 동형 이분법 정리는 다항 보간을 통해 두 카운팅 문제 사이에 다항 시간 감소가 있음을 증명합니다. 나는 그러한 알고리즘에 대한 실질적인 가치를 모른다.

arXiv 버전의 섹션 4를 참조하십시오. 문제의 정리는 "첫 번째 고정 정리 정리"라고하는 Lemma 4.1입니다.

이 증명을 건설적으로 만드는 한 가지 방법 은 Lovasz 결과의 복합 가중치 버전을 증명하는 것입니다 .

모든 , 동형의 존재 IFF에 의 되도록 .Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , w , j ) f G f ( i ) = $G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

여기서, 의 정점 인 , 및 정점이다 및 모든 복소 가중치 그래프 homomorphisms 위에 합 에 하는 추가 제약으로 에 매핑해야이 .H i j G Z H ( G , w , i ) G H i $w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen 및 Pinyan Lu, 복잡한 값을 갖는 그래프 동형 : 이분법 정리 ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

80 년대 후반의 일부 초기 결과 :

• Fellows and Langston, " 다항식 시간 결정 성을 입증하기위한 비 구조적 도구 ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " 다항식 자기 환원성 : 이론적 동기와 실제 결과 ", 1989

두 번째 항목의 요약에서 :

그러나 최근 그래프 이론의 근본적인 발전은 P의 멤버쉽을 보장하기 위해 적용 할 수있는 강력하고 새로운 비 구조적 도구를 사용할 수있게하였습니다. 이러한 도구는 두 가지 수준에서 비 구조적입니다. 또한 그러한 결정 알고리즘이 솔루션 구성에 도움이 될 수 있는지 여부도 공개하지 않습니다. 우리는 이러한 도구의 사용을 간단히 검토하고 설명하며, 이러한 새로운 도구가 적용될 때 약속 된 다항식 시간 결정 알고리즘을 찾는 겉보기에 엄청난 과제를 논의합니다.

우리가 보여줄 수있는 무한한 문제 군 (실용적 가치가있는)의 예 :

1. 각 문제마다이를 해결하는 알고리즘이 있습니다.
2. 이러한 알고리즘을 구성 할 수있는 방법은 없습니다 (일반적으로).

$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura 및 Siamak Tazari의 MohammadTaghi Hajiaghayi의 자습서에 대한 "이차원 이론 및 알고리즘 그래프 부 이론 강의 노트"에서

각각의 마이너 클로즈드 그래프 속성은 유한 세트의 금지 된 마이너로 특징 지어 질 수 있습니다.

불행하게도, 그 결과는 "내재적으로"비 구조적입니다. 즉, 주어진 마이너 클로즈드 그래프 속성에 대해 어떤 마이너를 제외 할지를 결정할 수있는 알고리즘이 없습니다. 또한 금지 된 미성년자의 수가 많을 수 있습니다. 예를 들어, 원환 체에 임베드 가능한 그래프에 대해 30,000 가지 이상의 금지 된 미성년자가 알려져 있지만 목록이 불완전합니다.

[...]

각각의 소량 폐쇄 그래프 속성은 다항식 시간 (입방 시간에서도)으로 결정될 수 있습니다.

Algorithmic Lovász local lemma- "알고리즘 Lovász local lemma는 제한된 의존성으로 제약 시스템에 순종하는 객체를 구성하는 알고리즘적인 방법을 제공합니다. ... "나쁜 사건을 피하기 위해" 분포에 대한 일부 가정 / 제한에서, 구성된 알고리즘은 Moser / Tardos [1]에 의해 제공됩니다. Lovasz 지방의 정리는 복잡한 이론과 다양한 관계가있는 것으로 보인다. 예를 들어 [2]

[1] Moser, Tardos의 Lovász Local Lemma 일반에 대한 건설적인 증거

[2] Lov'asz 지역의 정리 및 만족도 Gebauer, Moser, Scheder, Welzl