나무와 하위 그래프 동형

우리가 큰 (감독) 그래프가있는 경우 와 작은 뿌리 나무 ,의 서브 그래프 찾기위한 가장 잘 알려진 복잡성 무엇 에 동형를 ? 와 가 모두 나무이고 가 평면이거나 나무 너비 (및 기타) 경계가 있는 하위 트리 동형에 대한 결과를 알고 있지만이 그래프와 트리의 경우에는 해당되지 않습니다. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— 라파엘
소스

하위 그래프 대신 유도 하위 그래프를 의미합니까?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ 크리스토퍼, 나는 둘 다에 관심이 있습니다. 비유도 사례에 대해 사소한 것을 놓친 적이 있습니까?

— Raphael

가장 긴 (유도 또는 비유도) 경로 문제가 NP- 하드이므로

가 경로 인 경우에도 문제는 NP- 하드입니다.

H

$H$

— YOTA Otachi

예. 나는

가 나무가되는 것보다 더 알려진 것이 무엇인지에 관심이 있습니다 . 예를 들어, 문제의 속성과 같은

속성에 따라 또는

가 고정 되었다고 가정합니다 .

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raphael

유도 된 경로 문제는 W [1]-완전 (Papadimitriou-Yannakakis 1991)이고 (비유도 된) 경로 문제는 FPT (Monien 1985)입니다. Chen-Flum 2007도 참조하십시오. 다른 클래스의 트리에 대한 매개 변수화 된 복잡성을 알고 싶습니다.

— Yota Otachi

답변:

어떤 고정 그래프 여부 질문 의 (유도) 서브 그래프이고 모든에 대해, 즉, 일차 정의 속성 인 수식가 ( ) 등이 그 의 (유도) 서브 그래프이다 의 경우는 그리고 ( ) 인 경우에만 해당됩니다 . $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

이전에는 모델 검사 문제가 (로컬로) 마이너 및 (로컬로) 범위 확장 클래스를 (로컬 로) 제외하는 그래프 클래스에서 다루기 쉬운 고정 매개 변수라는 것이 알려져있었습니다 . 최근 Grohe, Kreutzer 및 S.는 더 일반적인 메타 정리를 발표하여 모든 1 차 속성이 밀도가 높은 그래프 클래스에서 거의 선형 시간으로 결정될 수 있다고 언급했습니다.

귀하의 질문에 이것은 다음을 의미합니다. 를 고정 된 나무로 하자 . 그런 다음, 가 평면 인 경우 가 입력 (지시 된 또는 비 지향 된) 그래프 의 (유도 된) 서브 그래프 인지 아니면 더 일반적으로 부 또는 배제 된 클래스의 클래스에서 제외 되는지를 선형 시간으로 결정할 수 있습니다 . 가 소수 또는 로컬로 제한된 확장 클래스에서 로컬로 제외 된 클래스에서 발생하거나 가장 일반적으로 는 어디 에서나 밀도가 높은 그래프 클래스에서 발생하는 경우 거의 선형 시간으로 문제를 결정할 수 있습니다 . $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— 세바스티안시 베르 츠
소스

무작위 예상 시간 에서 해결할 수 있습니다. 여기서 는 찾을 작은 방향 트리의 크기이고 은 큰 방향 그래프의 가장자리 수입니다. Alon, N., Yuster, R. 및 Zwick, U. (1995)의 정리 6.1 참조. 컬러 코딩. J. ACM 42 (4) : 844-856 . Alon et al. 또한 그들의 알고리즘은 무작위 화 될 수 있지만 그 부분에 대한 세부 사항은 제공하지 않는다고 진술한다. 나는 결정 론적 시간이 $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— 데이비드 엡스타인
소스

derandomized 버전은 평소처럼, 예를 들어 섹션 4에서 설명한 것과 같이, 완벽한 해시 함수를 사용하여

노드를

색 으로 매핑 하여 여분의

인자 를 야기합니다 . (또한 개선하는 것이 가능

계수 수단은 완전히 인

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed

당신은 아마도 Marx, Pilipczuk를 찾고 Subgraph Isomorphism의 매개 변수화 된 복잡성에 대해 연구하고 있습니다. 기술적으로는 방향이없는 그래프 만 다루지 만 나무 의 경도 결과 를 뿌리 나무에 쉽게 적용 할 수 있다고 생각합니다 . 문제와 관련된 긍정적 인 결과는 이미 이전 답변에서 다룹니다. $H$

— 라두 쿠티 카피 안
소스