낮은 확률 좌표가없는 높은 확률 이벤트

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허락하다 $X$ 값을 취하는 랜덤 변수이다 $\Sigma^n$ (일부 큰 알파벳의 경우 $\Sigma$ 엔트로피가 매우 높은 $H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$ 임의로 작은 상수 $\delta$ . 허락하다 $E \subseteq \rm{Supp}(X)$ 다음을지지하는 행사가되다 $X$ 그런 $\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$ 여기서 은 임의로 작은 상수입니다. $\varepsilon$

우리는 한 쌍의 말 A는 낮은 확률 좌표 의 경우 입니다. 우리는 문자열 말하는 낮은 확률의 좌표를 포함 경우 낮은 확률의 좌표 일부 . $(i,\sigma)$ $E$ $\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$ $x \in \Sigma^n$ $E$ $(i, x_i)$ $E$ $i$

일반적으로, 일부 문자열 $E$ 낮은 확률 좌표를 포함 할 수있다 $E$ . 문제는 우리가 항상 높은 확률 이벤트 찾을 수 있습니다 $E' \subseteq E$ 에는 문자열하도록 $E'$ 낮은 확률의 좌표를 포함하지 않는 $E'$ (하지의 $E$ ).

감사!

it.information-theory pr.probability

— 또는 Meir
소스

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다음은 Harry Yuen의 답변을 보완하는 예입니다. 카운터 - 예를 들어, 적절한 정의하기에 충분 와 쇼를 그 어떤 큰 부분 집합 낮은 확률의 좌표가 있어야합니다 - 낮은 확률 좌표 반드시 낮은 확률 공동을 좌표 . $X,E$ $E'\subseteq E$ $E$ $E$ $E'$

또한 엔트로피에 대한 조건을 무시합니다 독립적으로 균일하게 분포 된 임의의 변수를 추가 하고 를 추가하면그러한 존재 여부에 영향을 미치지 않으면 서 거의 에 가깝습니다 . $N$ $X$ $E$ $E\times \Sigma^N$ $H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$ $1$ $E'$

다음은 그 예입니다. 하자 임의의 원소 일 수 이러한 해밍 웨이트와 각 벡터 것을 (즉, 폼의 벡터 ) 확률을 가지고 및 올인원 벡터 은 확률 입니다. 를 해밍 가중치 인 벡터 집합으로 가정 하십시오 . $X$ $\{0,1\}^n$ $1$ $0\dots 010\dots 0$ $(1-\epsilon)/n$ $1\dots 1$ $\epsilon$ $E$ $1$

서브 세트 고려하십시오 . 경우 비어 있지, 그것은 해밍 무게의 벡터 포함 말 일반성을 잃지 않고있다. 그러나 은 이 보다 작은 경우 약 . $E'\subseteq E$ $E'$ $1$ $100\dots 0$ $\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$ $\epsilon$ $n$ $2/\epsilon^2$

— 콜린 맥퀸
소스

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은 과 어떻게 비교 됩니까? 만약 $\epsilon$ $n$ $\epsilon$ 될 수있다 $O(1/\sqrt{n})$ 그런 다음 원하는 것을 달성 할 수 있다고 생각합니다. 허락하다 $B = \mbox{Supp}(X) - E$ . 참고 $B$ 주어진다 $\epsilon$ 확률 질량 이하 $X$ . 허락하다 $\lambda(i,\sigma)\epsilon$ 문자열에 할당 된 확률 질량을 $B$ 그런 $i$ 이 좌표에는 기호가 있습니다 $\sigma$ .

가정 $(i,\sigma)$ 일부 문자열의 확률이 낮은 좌표였습니다. $E$ . 허락하다 $\delta(i,\sigma)$ 해당 문자열에 할당 된 확률 질량을 나타냅니다. 그런 다음 정의에 따라 $\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$ , 암시 $\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$ . 우리는 이러한 낮은 확률 문자열을 버릴 수 있지만 $\delta(i,\sigma)$ 조사 손실. 질량 $E$ .

가능한 모든 나쁜 일에 대해 이것을 계속하십시오 $(i,\sigma)$ 결국 우리는 기껏해야 버린다 $\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$ . 이것은 모두를 위해 $i$ , $\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$ .

원한다면 $E'$ 확률 질량을 갖기 위해 $1 -\gamma$ 그런 다음 $\epsilon$ 그런해야합니다 $\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$ , 또는 $\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$ 충분하다.

이 의존성에 대한 여부는 현재 명확하지 않습니다. $n$ 제거 할 수 있습니다; 나는 그것에 대해 계속 생각할 것입니다.

— 헨리 위엔
소스

오, 나는 당신이 더 강한 요구 사항을 찾고 있다는 것을 깨달았습니다.

E^{'}

$E'$ 에 대해 낮은 확률 좌표가 없습니다

E^{'}

$E'$ 아니

E

$E$ . 나는 오늘 나중에 이것으로 다시 올 것이다.

— Henry Yuen

감사! 나는 일정한 엡실론을 찾고 있지만 임의로 작을 수 있습니다.

— 또는 Meir