경계 밸런스 그래프의 그래프 동 형사상에 대한 부드러운 소개

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나는 그래프 동형 (있는 그래프의 클래스에 대한 책을 읽은하고 )에 . 이러한 경우 중 하나는 여기에 설명 된 바운딩 된 원자가 그래프 (각 정점의 최대 각도)입니다 . 그러나 나는 너무 추상적이라는 것을 알았습니다. 누군가 나에게 해설 적 인 성격에 대한 언급을 제안 할 수 있다면 감사 할 것입니다. 나는 그룹 이론에 대한 배경 지식이 없기 때문에 그룹 이론을 부드럽게 사용하는 논문을 선호한다 (나의 배경은 CS에있다). $GI$ $P$

— 두르 가다 타
소스

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나는 불행히도이 책을 가지고 있지 않지만 그래프 동형 현상 문제 : Johannes Köbler, Uwe Schöning, Jacobo Torán 의 구조적 복잡성 으로 인해 학위 정도에 대한 증거가 포함될 수 있습니다. 확인하고 싶을 수도 있습니다.

— 이토 쓰요시

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@TsuyoshiIto : GI에 대한 훌륭한 소개와 일반적인 구조적 복잡성에 대한 훌륭한 책이기는하지만, 제한된 정도의 사례에 대해서는 그다지 많이 포함되어 있지 않습니다. 나는 제한된 정도의 사례에 대해 부드럽게 소개하는 것을 알지 못하지만 그룹 이론적 방법과 너무 밀접하게 묶여있어 그룹 이론을 "부드럽게 만"(OP의 요청에 따라) 사용하는 설명이 의심됩니다.

— Joshua Grochow

나는 개요를보고 싶어한다. 나는 곧 그렇게 할 것이다!

— Jim

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경계도 그래프 이소 형성 알고리즘은 (순열) 그룹 이론과 밀접한 관련이 있으므로 그룹을 "부드럽게 만"사용하는 도입이 의심됩니다. 그러나 Paolo Codenotti의 Ph.D.에 문의하십시오 . 보다 완벽한 배경에 대한 논문 . 그는 경계도 동형 이형을 정확히 다루지는 않지만 필요한 도구를 다룹니다 (그리고 나머지 논문은 경계 형 하이퍼 그래프에 관한 것입니다. 일반 그래프 동형에 가장 잘 알려진 알고리즘을 경계 계급 하이퍼 그래프 경우로 확장합니다) .

Group-Theoretic Algorithms and Graph Isomorphism 이라는 책 은 필요한 대부분의 배경 (2 장, "기본 개념", 47 페이지)을 다루고 있으며 대부분의 출판 된 논문보다 훨씬 여유롭게 설명되므로 유용합니다. 주제.

— 조슈아 그로 호프
소스

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표기법 하자 그래프 될 의 단부 . 정점 세트 거리의 정점들의 집합 에서 및하자 높이가 될 . $X = (V,E)$ $e = (v_1, v_2)$ $X$ $V_k$ $k$ $e$ $h$ $X$

정의에 따라 , 및 . 서브 세트,하자 의 에지의 정의 된 직후 인 $V_k$ $V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$ $V_{(h+1)}= \emptyset$ $E_k$ $X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

Subgraph 는 다음과 같이 정의됩니다. $X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

예를 들어, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

그래프의 동형 기 고정된다. 경우 의 발생 세트이다 , 우리는 물품 , 예를 들어, 분명하다 $Aut_e(X)$ $X$ $e$ $B$ $Aut_e(X_k)$ $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ 여기서 의 정점은 순열 의 . $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ $(v_1,v_2)$ $v_1, v_2$ $X$

원리 다형성 그룹의 집합을 생성 하는 것은 GI (그래프 동형) 완전한 문제이다 [1]. 따라서 다항식 시간에 균형을 이루는 의 다형성 그룹의 생성 집합을 계산할 수 있다면 다항식 시간으로 GI를 해결할 수 있습니다. 그래서, 우리가 판단 할 . $X$ $X$ $Aut_e(X)$

기술:

우리는 건설 할 것입니다 . 각각에 대해 우리는 $X_0, X_1..... X_h$ $X_k$ $Aut_e(X_{(k)})$

의 순열, 유의 의 동형으로 확장 될 수있다 . $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1)})$

그래서, 발전기 에 대한 발전기로부터 얻어 질 수 . $Aut_e(X_{(k+1)})$ $Aut_e(X_{k})$

구조 생성기의 구조 타입 조작된다. 구조 타입 한정된 종류로 나눌 수있다. 예를 들어, 3 가의 경우 6 가지 유형 만 있습니다 (실제로는 5 가지만 발생할 수 있음). $E_k$ $E_k$

우리의 가장자리 분류됩니다 유형과 가족에 의지 그룹 그들로. 이렇게하면 여러 가지 고유 한 레이블을 만들 수 있습니다. $E_k$

고정 원자가의 경우 라벨 수가 적습니다. 이 시점에서 setwise-stabilizers 개념을 사용하여 특정 레이블에 작용하는 순열을 찾습니다. 이 과정에서 의 발생기를 찾습니다 . 그런 다음 의 생성기를 사용합니다 $Aut_e(X_{(k) })$ 의 생성 찾을 전술 한 바와 같이. 이와 같이 진행하면, 우리가 구 $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1) })$ . $Aut_e(X)$

— 짐
소스

[1] 루돌프 마톤. , 그래프 동형 계산 문제에 대한 참고 사항. 방법. 레트 사람. 8 (1979), no. 3, 131–132.

— Jim