다음 문제 NP는 어려운가요?

기본 세트 대한 세트 을 고려하십시오. 여기서 n 과 e_i \ in F_i 이고 k 를 양의 정수로 둡니다 .$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$

목표는 U 보다 C = \ {C_1, C_2, \ dotsc, C_m \} 집합의 다른 모음을 찾아 각 F_i 를 최대 k (k << | C |)의 서로 분리 된 집합 의 합집합으로 작성할 수 있도록하는 것입니다. 에 C 또한 우리가 원하는 \ sum_1 ^ m | C_J | 최소로 (즉, 모든 C 세트의 요소의 총 수는 가능한 한 작아야 함).$C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$$U$$F_i$$k$ $(k<<|C|)$ $C$$\sum_1^m |C_j|$$C$

참고 $F$ 와 같은 크기가 $U$ 하지만, 크기 $C$ 불확실하다.

누구든지 위의 문제가 NP-hard인지 알 수 있습니까? (세트 커버? 포장? 완벽한 커버링)

시간 내 줘서 고마워.

렘마 문제는 NP-hard입니다.

증거 스케치. 우리는 제약 조건을 무시한다게시 된 문제에서 문제의 인스턴스 에 대해 인스턴스 는 독립 사본을 결합하여 얻은 것이므로 (여기서 의 번째 복사본 용도 의 복사 번째 의 기본 세트로하면)과 동등하다 만족 제약 (이 갖는 ).$|F_i| \ll n = |U|$( F , U , k ) ( F ' = F n , U ' = U n , k ) n ( F , U , k ) i F i U | F ' 나는 | ≤ n ≪ n 2 = | U ' $(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

우리는 3-SAT를 줄입니다. 제시를 위해, 축소의 첫 단계에서, 우리 는 게시 된 문제 의 제약 조건 를 무시합니다 . 두 번째 단계에서는 축소의 정확성을 유지하면서 이러한 제약 조건을 충족시키는 방법을 설명합니다.$e_i \in F_i$

첫 단계. 3-SAT 수식 수정하십시오 . WLOG가 각 절에 정확히 세 개의 리터럴이 있다고 가정합니다 (각각 다른 변수를 사용함). 게시 된 문제 의 다음 인스턴스 를 .ϕ ( F , U , k ) k = $\phi$$(F,U,k)$$k=3$

하자 변수의 숫자 . 에는 요소가 있습니다 . 하나의 요소 ( "true") 및 각 변수 에 대해 세 개의 요소 , 및 ( "false")가 있습니다.n ϕ 3 n + 1 U t x i ϕ x $n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

각 요소에 대해 해당 요소 만 포함하는 싱글 톤 세트가 있습니다 . 따라서 모든 솔루션 에는 이러한 각 세트가 포함되며,이 세트는 총 크기 을 비용에 기여합니다 .$U$F C 3 N + 1 $F$$C$$3n+1$$C$

또한 각 변수 에 대해 에는 "변수"세트 가 있습니다. 각 절마다 의 절에 리터럴로 구성된 "절"이 설정되어 있으며 . 예를 들어, 절 은 집합을 생성합니다 .x i ϕ { x i , ¯ x i , f i , t } F ϕ F t x 1 ∧ ¯ x 2 ∧ x 3 { x 1 , ¯ x 2 , x 3 , t } $x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

주장 1. 정확한 답 : 는 일부 솔루션 가 입니다.ϕ C ∑ j | C의 J | = 5 , N + $\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(만 해당) 가 만족 스럽다고 가정하십시오 . 싱글 톤 세트 로 구성된 솔루션 와 각 변수 에 대해 실제 리터럴과 로 구성된 쌍을 구성합니다 . (예 경우 거짓이다.)의 비용 다음이다 . ϕ C 3 n + 1 x i t { ¯ x i , t } x i C 5 n + $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

각 변수 세트 는 세 개의 집합, 즉 실제 리터럴과 로 구성된 쌍 과 두 개의 싱글 톤 집합, 다른 두 요소 각각에 대한 단일 집합입니다. (예 : ){ x i , ¯ x i , f i , t } t { ¯ x i , t } , { x i } , { f i$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

각 절 집합 (예 : )은 세 개의 집합 , 즉 와 실제 리터럴 로 구성된 쌍 과 두 개의 싱글 톤 집합, 다른 두 개의 리터럴 각각에 대한 집합입니다. (예 : ){ x 1 , ¯ x 2 , x 3 , t } t { x 1 , t } , { ¯ x 2 } , { x 3$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(if) 크기 의 솔루션 가 있다고 가정 합니다. 솔루션에는 싱글 톤 세트와 다른 총 크기 세트 가 포함되어야합니다 .C 5 N + 1 (3) N + 1 (2) $C$$5n+1$$3n+1$$2n$

먼저 " 형식 의 "변수 "세트를 고려하십시오 . 이 집합은 에서 최대 3 개의 집합이 분리 된 결합입니다 . 일반성을 잃지 않고 두 개의 싱글 톤과 한 쌍의 분리 된 결합입니다 (그렇지 않으면 분할 세트 는 비용을 늘리지 않고 이것을 달성합니다). 쌍을 나타냅니다 . 는 , 또는 하지만 포함 하므로 다른 변수 및 대한 및 쌍 은 서로 다릅니다.n { x i , ¯ x i , f i , t } C C P i P i P j x i x j P i x i ¯ x i f i P j 2 $n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$$P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$하지 않습니다. 따라서이 쌍의 크기의 합은 입니다. 따라서이 쌍은 솔루션에서 단일이 아닌 유일한 집합입니다. $2n$

그런 다음 "clause"세트를 고려하십시오 (예 : . 이러한 각 세트는 에서 최대 3 세트 , 즉 최대 2 개의 싱글 톤 세트와 적어도 하나의 쌍 , 또는 결합이어야 합니다. 쌍과 절 세트를 검사함으로써, 두 개의 싱글 한 쌍의 결합이어야하고, 그 한 쌍의 형태이어야 또는 (리터럴 및 ).{ X 나 , ¯ X J , X K , t } C P I P J P K { X I , t } { ¯ X J , t } $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$$t$

따라서, 다음과 같은 과제를 만족 각 변수에 할당 사실은 되도록 각 변수에 할당 오류가 되도록 및 할당 남아있는 변수들.ϕ x i P i = { x i , t } x i P i = { ¯ x i , t $\phi$$x_i$$P_i=\{x_i, t\}$$x_i$$P_i=\{\overline x_i, t\}$

2 단계. 위에서 생성 된 인스턴스 는 문제 설명에 명시된 제약 조건 만족하지 않습니다 . 다음과 같이 단점을 수정하십시오. 각 싱글 톤 세트가 요소 해당하도록 세트 및 요소 를 . 하자 에서 조항의 숫자 , 그래서 과 .( F , U , k = 3 ) e i ∈ F i F i e i U e i m ϕ | F | = 1 + 4 n + m | U | = 1 + 3 $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$$|F|=1+4n+m$$|U|=1+3n$

하자 다음과 같이하여 얻어진 예를 나타낸다. 를 새로운 인공 요소 의 집합으로 하자 ( 설정된 비 싱글 톤마다 두 개) . 이라고하자 . 하자 에서 싱글 세트 포함 각각 비 - 싱글 세트, 플러스 에서 , 두 세트 과 여기서 및 대해 고유하게 선택된 두 요소입니다 . 이제 및 (의 올바른 순서로( F ' , U ' , K ' = 4 ) 2 N + 2 m F U ' = U ∪ F ' F F I F F I ∪ { I , ' I } { I , ' I } a i a ' i A F i | F $(F', U', k'=4)$$A$$2n+2m$$F$$U'=U\cup A$$F'$$F$$F_i$$F$$F_i\cup \{a_i, a_i'\}$$\{a_i,a_i'\}$$a_i$$a_i'$$A$$F_i$| = | U ' | = (1) + 5 N + 2 m F $|F'|=|U'|=1+5n+2m$$F'$ 및 ) 의 제약 조건 각각의 세트 에 대해 충족된다 .U ′ e ′ i ∈ F ′ i F ′ $U'$$e'_i\in F'_i$$F'_i$

끝으로, 는 원래 인스턴스 가 의 솔루션을 갖는 경우 비용 의 솔루션을 갖습니다. .( F ' , U ' , k ' = 4 ) | A | + 5 n + 1 ( F , U , k = 3 ) 5 n + $(F',U',k'=4)$$|A|+5n+1$$(F, U, k=3)$$5n+1$

(존재하는 경우) 임의의 용액을 감안 비용 대 , 가산 세트 (각 비 - 싱글 하나 이러한 파티션 그래서 ) 내지 는 비용 에 대한 해를 제공한다 .$C$$5n+1$$(F,U,k=3)$$n+m$$\{a_i, a'_i\}$$F_i$$A$$C$$(F', U', k'=4)$$|A|+cost(C)=|A|+5n+1$

(만 해당) 비용 에 대한 솔루션 를 고려하십시오 . 비 - 싱글의 쌍 설정을 고려 와 에서 . 각각은 에서 최대 4 세트의 분리 된 결합입니다 . 로컬 교환 인수으로 이러한 세트 중 하나는 와 포함되지 않은 나머지 또는 --- 그렇지 않으면이 속성이 증가하지 않고, 세트에 로컬 수정에 의해 달성 될 수있다 비용 ... (여기서 세부 사항이 부족하기 때문에 이것을 증명 스케치 라고 부릅니다 ). 따라서C ' ( F ' , U ' , k = 4 ) | A | + 5 N + 1 F I ∪ { I , ' I } { I , ' I } F ' C ' { I , ' I } I ' $C'$$(F', U',k=4)$$|A|+5n+1$$F_i\cup\{a_i, a_i'\}$$\{a_i, a_i'\}$$F'$$C'$$\{a_i, a_i'\}$$a_i$$a_i'$$\{a_i, a_i'\}$ 세트 는 비용 의 에 대한 솔루션 를 제공합니다 . $C'$$C$$(F,U,k=3)$$5n+1$$\diamond$