범주 형 용어로 적용되는 펑터 설명-모노 이드 펑터

Applicative카테고리 이론의 관점 에서 이해하고 싶습니다 .

문서 에 대한이 Applicative가 있다고 말한다 강한 느슨한의 monoidal 펑터 .

첫째, 단일체 펑터 에 관한 Wikipedia 페이지는 단일체 펑터 가 느슨 하거나 강력 하다고 말합니다 . 그래서 소스 중 하나가 잘못되었거나 용어를 다르게 사용하는 것 같습니다. 아무도 그것을 설명 할 수 있습니까?

둘째, Applicative단일체 펑터 인 단일체 범주는 무엇 입니까? 나는 functors가 표준 Haskell 범주 (객체 = 유형, 형태 = 함수)의 end-functors라고 가정하지만이 범주의 단일체 구조가 무엇인지 전혀 모릅니다.

도와 주셔서 감사합니다.

lo.logic type-theory functional-programming ct.category-theory

— 페트르 푸들 락
소스

답변:

실제로 "힘"이라는 단어는 두 가지 용도로 사용됩니다.

강한 endofunctor 위에 monoidal 카테고리 천연 변환 붙어 하나 에 대하여 약간의 간섭 조건을 만족 내가 다룰 어 소시 에이터. 이 상태는 때때로 " 는 힘이있다"라고 발음된다 . $F : C \to C$ $(C, \otimes, I)$ $\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$ $F$
$F : C \to D$ $(C, \otimes, I)$ $(D, \oplus, J)$ $\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$ $i : J \to F(I)$ , 어 소시 에이터에 대한 일관성 조건을 다시 만족시킨다.
$F : C \to D$ $\phi$ $i$ $F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$ $\phi$

하스켈 프로그램의 의미에서 적용되는 펑 터는 강도 가있는 완하제 일체 종단 내수 정기이며, 문제의 단일체 구조는 데카르트 제품이다. 이것이 바로 역설적 인 용어 인 "강력한 일 축성 functor"를 얻는 이유입니다.

$F$ $\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

마지막으로, Haskell 스타일의 적용 함수 기의 유형 이론에 관심이 있다면 블로그에 대한 글을 올렸습니다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

Functorfmap

ϕ

$\phi$

i

$i$ pureipure' = \v -> fmap (\() -> v) (i ())i :: (Applicative f) => () -> f ()

이 답변에 오타가 생겼습니다. 이제 수정되었습니다. 그리고 네, 모든 사례 Functor는 강력합니다 (wrt product).

— Neel Krishnaswami

Monad의 위치를 정교하게 설명해 주시겠습니까? 내가 올바르게 이해한다면 그것은 monoidal endofunctor이기도합니다.

— egdmitry 2016 년

Hask

$\operatorname{Hask}$

나는 단어 사용을 제안 할 수 있습니다 strengthy "강력한"로 표기 피하기 충돌로를? 그것은 Wycliffe의 성경에서 처음 사용 된 "강한"의 스코틀랜드 (특히 여기에서 발견 된) 방언 변형입니다.

— Fosco

모나드에 의해 유도되는 응용을 이해하기 위해 다음 구성을 지적하고 싶습니다.

$FA$ $\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

a \mapsto (g \mapsto F (g) (a))

$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$

F A \to B^{A} \to F B .

$FA\to B^A\to FB.$

F A

$FA$

F A

$FA$

F A \to F B^{A} \to F F B .

$FA\to F\,B^A\to FFB.$

F F B

$FFB$

F B

$FB$

F B^{A} \to F A \to F B,

$F\,B^A\to FA\to FB,$

L i f t M 2 i d

$\mathrm{LiftM2\ id}$

— 니콜라이 -K
소스