그룹 행동 측면에서 가우시안 제거

가우스 제거는 행렬 다항식 시간을 계산할 수있게합니다. 지수 항의 합인 결정자를 계산하는 데있어서의 복잡성의 감소는 대안적인 음의 부호의 존재에 기인한다 ( 이의 부족은 계산을 영구적으로 만드는 것은 즉 N P - C 문제 보다 더 어렵다 ). . 이것은 결정에 어떤 종류의 대칭으로 이어진다. 예를 들어 한 쌍의 행 또는 열의 교환은 부호를 뒤집는다. Valiant가 도입 한 홀로그램 알고리즘과 관련하여 어딘가에서 가우시안 제거가 그룹 동작 측면에서 설명 될 수 있으며, 이는 복잡성 감소의 일반적인 기술로 이어진다는 것을 읽었습니다.$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$

또한, 나는 계산 문제에 대한 거의 모든 복잡성 감소 원이 일종의 대칭이라고 생각합니다. 사실인가요? 우리는 이것을 그룹 이론 측면에서 엄격하게 공식화 할 수 있습니까?

편집하다

참조를 찾았습니다 . (pg 2, 두 번째 단락의 마지막 줄). 나는 종이를 제대로 이해하지 못했다. 나의 질문이 종이에 대한 잘못된 이해에 근거한 경우, 나를 바로 잡으십시오.

결정자의 경우 가우시안 제거는 실제로 결정자가 큰 대칭 그룹 (특정 형태)을 가지고 있고 그 대칭 그룹 ( n 2 변수의 다른 균질도 다항식을 의미 함)을 특징으로한다는 생각과 실제로 동등한 것으로 간주 될 수 있습니다. 이러한 대칭을 갖는 결정자는 스칼라 배수 여야합니다.) (그리고 영토의 대칭이 효과적으로 계산하는 데 도움이되지 않는 것처럼 보이는 이토 츠요시 이토의 관점에 따르면, 영속은 대칭으로 특징 지워지지 만, 대칭 그룹은 결정 요인보다 훨씬 작습니다.)$n$$n^2$

내 논문 의 제안 3.4.3 (결정력 없는 자체 플러그-) 에서 결정자가 대칭으로 특징 지워지는 방식과 함께 결정 요인의 대칭을 사용하여 가우시안 제거를 수행하는 데 사용됩니다. 또한 OP가 요청한 것처럼 OP가 요구 한 것처럼 이전에 이런 식으로 표현되고 세부 사항으로 쓰여진 것을 본 적이 없습니다. 다른 참조가 있으면 기쁠 것입니다).

대칭은 항상 주석에 이미 포함 된 것 외에도 복잡도 감소 (또는 그렇지 않음)로 이어진다는 아이디어에 대해서는 이 질문 과 그 답변을 참조하십시오 .

흥미로운 점은 현재 Valiant의 대수적 복잡성 이론 버전으로 알려진 것에 대한 Valiant의 첫 번째 논문에서 결정자가 중요한 계산적인 중요한 이유 중 하나는 알려진 모든 효율적인 알고리즘이 선형 대수로 축소 된 다음 결정자 계산, 예를 들어 평면 그래프에서 일치를 계산하는 FKT 알고리즘. 이것은 물론 과장이지만, 홀로그램 알고리즘에 대한 연구에 의해 계속 퍼져 나가는데,이 알고리즘은 종종 Pfaffian (결정자와 밀접한 관계)을 계산하는 것으로 줄어 듭니다. 확실히 Valiant는 이것이 과장된 것을 알았지 만 여기에 내가 잘못 표현하지 않도록하기위한 정확한 인용문이 있습니다 ( L. Valiant. 대수의 완전성 클래스. ACM STOC 1979 ).

우리의 주요 결론은 대략 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.

(a) 선형 대수는 본질적으로 중간 정도의 다변량 다항식을 계산할 수있는 유일한 빠른 기술을 제공합니다.

(b) ...

문제의 대칭이 복잡성을 특징 짓는 경우가 있습니다. 매우 흥미로운 예는 제약 만족 문제 (CSP)입니다.

CSP의 정의

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

다형성

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

$f(x, y) = x$

다형성과 복잡성 (이분법 추측)

$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

복잡성 이론의 주요 문제는 CSP의 경도를 특성화하는 것입니다. Feder와 Vardi의 이분법 추측은 모든 CSP가 P 또는 NP- 완전 상태임을 나타냅니다. 다형성에 대한 진술로 추측을 줄일 수있다. 인정하는 유일한 다형성이 "독재자"인 경우에만 CSP는 NP-hard이다 (그렇지 않으면 P에있다). 즉, CSP는 기존 솔루션에서 진정한 새로운 솔루션을 형성 할 로컬 방법이없는 경우에만 어렵습니다. if 부분 (경도)은 알려져 있지만, 유일한 if 부분 (폴리 타임 알고리즘 설계)은 열려 있습니다.

$U = \{0, 1\}$

다형성, 보편적 대수 및 이분법 추측에 대한 자세한 내용 은 Bulatov 의 설문 조사를 참조하십시오 .

다형성과 근사 성

나는 또한 추천 프라 사드 Raghavendra하여 IAS 강의를 그가 그의두고 어디 결과를유사한 프레임 워크에서 고유 한 게임 추측을 가정 할 때 모든 CSP의 최적의 근사 성을 제공합니다. 높은 수준에서 CSP의 모든 다형성 (근사 문제를 처리하기 위해 일반화해야 함)이 독재자와 비슷하면 CSP를 사용하여 함수가 독재자인지 테스트하는 방법을 설계 할 수 있습니다. 독특한 게임에서 근사치 감소의 경도를 제공하기 위해 필요한 모든 것. 이것은 그의 결과의 경도 방향을 제공합니다; 알고리즘 방향은 CSP가 독재자와 멀리 떨어진 다형성을 가질 때, SDP 반올림 알고리즘이 좋은 근사치를 제공한다고 주장하기 위해 불변성 원리 (중앙 한계 이론의 일반화)를 사용할 수 있다는 것입니다. 알고리즘 부분에 대한 스케치 직관 : 독재자와는 거리가 큰 다형성은 변수 할당에 대한 분포를 지역적으로 근사화하는 인수 (분산 이상) 변수 할당 또는 가우스 랜덤 변수로 제공되는지주의하십시오. 이것은 합계 함수가 작은 분산을 갖는 불연속 랜덤 변수 또는 동일한 분산을 갖는 가우스 rv에 중심 제한 정리에 의해 "무관심"하는 것과 같은 방법입니다. 우리가 필요로하는 가우스 랜덤 변수는 CSP 문제의 SDP 완화로부터 계산 될 수 있습니다. 그래서 우리는 독재자와는 거리가 멀고, 가우시안 샘플을 먹이고, 좋은 해결책을 얻습니다. 중앙 한계 정리에 의해 작은 분산 또는 동일한 분산을 가진 가우스 rv가있는 불연속 랜덤 변수가 제공되는 경우. 우리가 필요로하는 가우스 랜덤 변수는 CSP 문제의 SDP 완화로부터 계산 될 수 있습니다. 그래서 우리는 독재자와는 거리가 멀고, 가우시안 샘플을 먹이고, 좋은 해결책을 얻습니다. 중앙 한계 정리에 의해 작은 분산 또는 동일한 분산을 가진 가우스 rv가있는 불연속 랜덤 변수가 제공되는 경우. 우리가 필요로하는 가우스 랜덤 변수는 CSP 문제의 SDP 완화로부터 계산 될 수 있습니다. 그래서 우리는 독재자와는 거리가 멀고, 가우시안 샘플을 먹이고, 좋은 해결책을 얻습니다.