단방향 양자 검증

클러스터 상태 계산 이론은 현재 잘 확립되어 있으며, 모든 BQP 회로를 수정하여 "클러스터 상태"라고 알려진 상태의 충분한 공급이 제공 될 경우 고전적으로 제어 할 수있는 단일 큐 비트 양자 게이트 만 사용할 수 있음을 보여줍니다. 안정기 상태를 생성하는 간단한 방법입니다.

내 질문은 : 양자 검증으로 알려진 비슷한 개념입니다. 즉 QMA 회로를 고전적으로 제어되는 1- 큐빗 게이트로 대체 할 수 있습니까? 아마도 "특별한 상태"를 사용합니까? 적어도 처음에는이 경우 클러스터 상태가 작동하는 이유가 확실하지 않습니다.

quantum-computing

— 리어 엘더
소스

올바르게 이해하면 QMA Merlin에서 모델에 어떻게 든 통합해야하는 양자 증명이 제공되는 문제입니까? 다시 말해, Merlin이 당신에게 고전적인 문자열을 건네주는 QMA 대신 QCMA라면 BQP에 대해 알려진 결과를 사용할 수 있습니다.

— Robin Kothari

예, 맞습니다. 이 차이를 만들어 주셔서 감사합니다.

— Lior Eldar

우선 BQP에 대해 동일한 질문을 할 수 있습니다. 1 큐 비트 측정을 수행 할 수있는 힘과 신뢰할 수없는 클러스터 상태 (또는 다른 적절한 상태)를 제공하여 양자 계산을 수행 할 수 있습니까?

— Norbert Schuch

답변:

QMA 완성도를 유지하면서 QMA 검증기를 단일 큐 비트 측정 및 고전적인 사전 및 사후 처리 (임의성 포함)로 제한 할 수 있습니다.

이유를 확인하려면 qubits 에서 -local QMA-complete Hamiltonians 클래스를 가져 가십시오 . 상수 을 추가하고 인수로 크기를 조정하면 Hamiltonian을 형식으로 가져올 수 있습니다 여기서 , 및 여기서 는 Paulis의 제품입니다. 정확도 까지 의 최소 고유 값을 추정하는 것은 여전히 QMA가 어렵습니다. $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

이제 상태에서 확률로 수락 하는 단일 큐 비트 측정 만 사용하는 회로를 만들 수 있습니다 (구성 상 과 사이 ). . 이를 위해 먼저 분포 에 따라 중 하나를 무작위로 선택 합니다. 그런 다음 각 Paulis를 측정 하고 결과 의 패리티 를 가져옵니다. 이제 통해 회로는 이제 $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ 따라서 출력은 에 따라 분배됩니다 .

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

이것은 (QMA- 완전한) 로컬 해밀턴 문제의 예 인스턴스를 선택한 경우이 검증자가 확률로 받아 들일 수 있는 상태 이며, 그렇지 않으면 모든 상태가 거부됩니다. 확률은 이고 입니다. 검증 기가 1 큐빗 측정으로 제한되는 QMA의 변형은 따라서 갭에 대해 QMA- 완료됩니다 . 마지막으로,이 QMA 버전은 QMA에 대한 기존의 증폭 기술을 사용하여 증폭 될 수 있으며, 이는 최종적으로 QMA와 동일한 범위 내에서 갭과 무관하게 QMA가 완전 함을 증명합니다. $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

— 노버트 슈흐
소스

가장 작은 고유 값을 추정하는 데 문제 가 여전히 QMA가 어려운 이유에 대한 간단한 설명이나 참조를 제공 할 수 있습니까? 감사!

H

$H$

— Henry Yuen

우리는 이 문제가 최대 ] 인 Hamiltonian 에서 시작하여 QMA- 완료되어 Hamiltonian . 여기서 및 이므로 의 GS 에너지 를 정확도 까지 추정하는 것은 여전히 QMA- 하드.

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

— Norbert Schuch

가 Pauli Hamiltonian의 고유 공간에있는 프로젝터 라고 항상 가정 할 수 있습니까 ?

h_{i}

$h_i$

— Henry Yuen

그런데, 각 용어 일본어 해밀 토니안 내의는의 합으로 작성 될 수있는 파울리 제품 ( 에 대한 ) 및 각 Pauli 제품 사전 요인 은 입니다.

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— Norbert Schuch

질문에 대한 나의 해석은 QMA 프로토콜의 검증기 회로가 단일 큐 비트 측정만을 사용한다고 가정 할 수 있는가? (프로 버가 "단방향 양자 컴퓨팅"에 의해 원래 검증 회로를 구현하는 데 필요한 양자 증명 및 양자 클러스터 상태를 모두 전송한다는 아이디어.

물론 문제는 증명자가 유효한 클러스터 상태를 전혀 보내지 못할 수도 있다는 것입니다. 따라서 검증자는 수신 상태를 테스트하여 실제로 클러스터 상태인지 확인해야합니다. 검증기는 단일 큐 비트 측정을 수행하고 상관 관계를 점검하여 필요한 안정기 점검을 충족함으로써이를 수행합니다. 이러한 테스트는 상태를 파괴하기 때문에 검증 자에게 상태의 많은 사본을 제공하고 대부분의 상태를 점검하며 계산에 임의의 것을 사용하는 절차가 필요합니다. polynomially 많은 사본으로 충분합니까?

나는 이것이 알려진 정리라고 생각하지 않습니다. 나는 분명한 반례를 보지 못하고 (1 분의 생각으로) 믿을 수 있습니다. 테스트 상태에 대한 알려진 증명 기술은이를 확인하는 것으로 충분합니다. 예를 들어 Matthew McKague의 논문 arXiv : 1010.1989 [quant-ph]를 참조하십시오. 증거가 있으면 QIP로 마감하십시오 (10 월 5 일 마감)!

— 익명
소스

아마도 나는이 질문을 오해하고 있습니다. Merlin이 입력 계층을 제공하는 측정 기반 계산을 사용하여 QMA에서 문제에 대한 검증기 회로를 구현할 수 있는지 여부를 묻는 경우, Merlin은 입력 상태를 제공하고 Arthur는 자원 상태에서 모든 추가 큐 비트를 제공하고 측정이 시작되기 전에 두 큐 비트 세트를 얽습니다. 대답은 사소한 것입니다. 이것은 고전 또는 양자 입력에 상관없이 모든 양자 회로를 측정 기반 계산으로 구현할 수 있다는 사실에서 직접 발생합니다.

측정 기반 계산 입력 사이트에 대한 대부분의 논문에서 일반적으로 다른 사이트와 별도로 식별되므로 이것이 바로 양자 입력의 경우를 다루는 이유입니다.

— 조 피츠 시몬스
소스

실제로 나는이 시점에서 불분명하다. 내가 본 측정 기반 계산의 논문에서 고전적인 입력을 가진 모든 BQP 회로에서 클러스터 상태에서 시작하는 단방향 계산 회로로의 변환이 이루어졌습니다. 즉, 입력에 관계없이 임의의 단일 회로 (U)를 측정 기반 회로 (U_1)로 변환하는 변환으로서 설명되지 않는다. 내가 물었던 복잡성 질문은 이제 Norbert의 답변에 따라 해결되었지만 여전히이 점을 이해하고 싶습니다.

— Lior Eldar

@LiorEldar : 그런 다음 원본 Raussendorf 및 Briegel 용지 또는 Raussendorf, Browne 및 Briegel을 살펴보십시오. 이들은 한 번에 하나의 게이트로 회로를 명시 적으로 구성하여 각 측정 패턴이 입력 레이어에서 임의의 상태에있을 수있는 지정된 게이트를 구현 함을 보여줍니다. 가장 확실한 것은 임의의 입력에 임의의 회로를 구현할 수 있다는 것입니다.

— Joe Fitzsimons

Lior는 우리가 이것을 논의했을 때 실제로 Aachen에서 여기에 있었고, 질문을 이해하는 한 가지 방법은이 아이디어를 기반으로합니다. MBQC를 사용하여 클러스터를 증명하거나 증명을 검증합니까? (오류 수정이 사용되는 블라인드 비교와 비슷한 아이디어를 사용할 수 있을까요?) 불행히도 QMA 경도를 증명하기 위해이 좋은 아이디어가 필요하지 않습니다. ;-( 그러나, 이것이 효과가 있는지 이해하는 것은 여전히 흥미로운 질문이며, 이것을 보여줄 전문가가 될 것입니다 :-)

— Norbert Schuch

@Lior : MBQC를 사용하여 입력을 확인하려는 경우 물론 1 큐빗 측정 외에 2 쿼 비트 게이트도 입력해야합니다 (클러스터 상태와 입력을 얽어 야하기 때문에).

— Norbert Schuch

@Joe : BTW, BQP와 동일한 질문 (신뢰할 수없는 클러스터 상태를 사용하여 1 큐 비트 측정을 사용하여 BQP를 실행할 수 있습니까)은 여전히 열려 있으며 블라인드 계산에 사용 된 아이디어가 나아갈 수 있다고 생각합니다 .

— Norbert Schuch