특정 기능을 피하는 격자 채색 계산

격자 의 색은 함수 입니다. 세분화 직사각형 의 튜플 를 만족 -즉, 사각형의 세 모서리가 동일한 색상입니다.$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

다음 질문에 관심이 있습니다.

의 함수로 , 중복 행, 중복 열 및 깨진 사각형을 피하는 (색상 그리드의 경우) 얼마나 많은 색상이 있습니까?$k$$k$

지금까지 나는 대답이 유한하다는 것을 알고 있으며 내가 증명할 수있는 가장 좋은 상한은 (아래 참조).$k^{(1.5 k!)^2}$

또한 이것은 Gasarch가 블로그 (및 이 백서 ) 에서 자주 이야기하는 질문과 다른 질문임을 지적 할 것입니다 . 그는 모든 단색 사각형을 피하고 싶지만, 단색 사각형은 신경 쓰지 않고 "파손 된"사각형입니다.

동기는 무엇입니까? 암호화에서, 우리는 (이 앨리스의 문제를 고려 (가)와 밥 모두 학습) 합의 된 기능에 대한 , 그들은 더 이상 배울 수있는 방식 . 자연스럽게 2 차원 테이블과 연관시킬 수 있으므로 격자 채색이 가능합니다. 다음 양식의 문제 이런 종류의 특성화 (하지만 서로 다른 표기법)가 있습니다 : " 일부 암호화 흥미로운 특성 경우에만,이 깨진 사각형을 포함합니다." 예를 들어 Kilian91 및 BeimelMalkinMicali99를 참조하십시오 .$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

그래서이 문제는 내가 조사하고있는 암호화 설정에서 나타났습니다. 내 목적을 위해, 깨진 사각형을 피하고 행 / 열을 복제하는 유한 한 격자 채색이 있다는 것을 아는 것으로 충분했습니다. 그러나 나는 조합 문제 자체가 흥미롭고 더 나은 범위가 가능해야한다고 생각했다.

내가 증명할 수있는 최선의 범위는 다음과 같습니다. Define and ; 따라서. 먼저, 가 최소한 개의 행을 가진 색상 이면, 행이 중복되거나 사각형이 깨져 있음을 증명할 수 있습니다 . 대칭 적으로 열과 관련하여 동일한 내용을 표시 할 수 있습니다. (증거는 색상 수에 대한 비둘기 구멍 원리에 따라 매우 기본적입니다.) 이로부터 우리가 관심있는 모든 채색의 크기가 보다 작은 것을 알 수 있습니다. 와 같은 착색 의 매우 느슨한 상한 .$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

나는 이것이 두 가지 방법으로 향상 될 수 있다고 생각합니다. 먼저, 나는 의 최적 값 이 이라고 생각합니다 . 다음은 (재귀 적으로 정의 된) 채색 계열입니다. 여기서 는 이러한 금지 된 기능을 피하는 크기 의 채색입니다 .$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

나는 이것이 금지 된 구조를 피하는 가장 큰 컬러 라고 생각합니다 .$k$

둘째 , 위에서 설명한 에 대한 경계를 개선 할 수 있더라도 는 총 착색 수에 대해 매우 거친 경계 라는 사실을 여전히 알고 있습니다. 이것은 가능한 모든 격자 채색을 계산하는데, 그 대부분은 아마도 금지 된 특징을 가지고있을 것입니다.$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

고정 대한 경계를 원한다면 (모든 대해 작동하는 점근 적 표현 / 공식 대신 ) 무작위 샘플링을 사용하는 것이 한 가지 방법입니다. 임의의 채색을 반복적으로 선택하고, 조건에 맞는지 확인하고, 시험은 성공적이었다. 기준에 맞는 채색 비율을 추정 할 수 있습니다. 이는 기준에 맞는 총 색상 수의 대략적인 추정치로 변환 할 수 있습니다 ( 곱하면됩니다 ).$k$$k$$k^{mn}$

그런 다음 Chernoff 경계를 사용하여 기준에 맞는 채색 수에 대한 상한과 하한을 얻을 수 있습니다.이 경계는 확률 (임의의 시험을 통해 수행됨)로 유지됩니다. 다시 말해서, 당신은 그 한계가 잘못되기 위해 무작위 시험을 선택하는 데 극도로 운이 없어야 할 것입니다.$\ge 1-2^{-100}$