기능 공간이있는 유도 유형의 폐쇄 서수

유한 제품과 합계로 만들어진 함수는 마감 서 수가 있습니다. $\omega$, Francois Metayer 의이 원고 에 자세히 설명되어 있습니다. 즉, 유도 형에 도달 할 수 있습니다$nat := \mu X. 1 + X$ functor를 반복하여 $1 + X$이후 고정 지점에 도달 $\omega$ 반복.

그러나 우리가 다음과 같이 일정한 지수를 허용하면 $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$그런 다음 $\omega$ 충분하지 않습니다.

지수가 포함 된 결과를 찾고 있습니다. 어떤 종류의 서 수가 충분합니까?

그러한 펑터가 있다는 증거를 제시하는 참고 문헌이 특히 높이 평가됩니다. $\alpha$일부 서수에 연속 $\alpha$ 위의 원고에서와 같이.

귀하의 질문에 대한 답변은 몇 가지 사항에 달려 있으며, 가장 중요한 것은 함수 공간 의 크기입니다 . 설명하겠습니다. 밝히다

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ 답변에서 언급했듯이 각각 $O_n$간주 될 수 내부적으로 을 수$n$-시스템의 정기 추기경. 이론적으로이 데이터 유형은 실제 서수로 표현할 수 있으며 적절하게 커집니다.

그러나 이러한 구성은 어떤 유형의 유형 이론에 추가 될 수 있으며, 이 구성에 대한 이론적 해석 을하기 위해서는 어떤 서 수가 필요 합니까? 이제 우리가 건설적 의미론으로 제한한다면 , 자연스러운 아이디어는이 유형의 "실현 자"에 의해 각 유형을 해석하려고 시도하는 것입니다.$\lambda$용어 또는 동등하게 자연수 $\mathbb{N}$.

이 경우 서수를 계산할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다. $O_n$그러나이 서수는 매우 빠르게 자랍니다. 얼마나 빨리? 다시 말하지만, 이것은 함수를 만들려고 할 때의 자유도에 달려 있습니다. 그러한 서수를 구축하는 이론은 Wikipedia 가 말할 것도없이 많은 수 의 서수 이론에 설명되어 있습니다. 일반적으로 건축 기능을 구성하는 비 구조적 수단을 허용하지 않는 한 문제의 서 수가 Church-Kleene Ordinal 보다 작다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.$Beaver(n)$ 다음과 같은 기계의 사용중인 비버 번호를 계산 $n$ 상태).

건설적인 이론에서는 해석을 구축하기 위해 건설적인 서 수만 필요하다는 것을 제외하고는 많이 말하지 않습니다. 그래도 조금 더 할 말이 있습니다. 첫째, Thierry Coquand 는 다른 모든 유형에 대한 제거기가없는 경우를 제외하고 는 매우 훌륭한 프레젠테이션 을 제공합니다.$nat$, 당신은 구축 할 수 있습니다 $O_1$ 정확히 $\epsilon_0$ 단계.

일반적으로 형식 이론의 논리적 강도와 이러한 방식으로 나타낼 수있는 가장 큰 서수의 크기 사이에는 대응 관계가있는 것 같습니다. 이 서신의 주제입니다 서수 분석 60 년대 후반부터 큰 길이에서 공부하고있다, 및 (몇 가지 놀라운 개방형 질문) 연구에서 오늘날입니다. 경고 : 주제는 매혹적인만큼 기술적입니다.

도움이 되었기를 바랍니다.

Set과 충분히 유사한 카테고리에서 작동하는 답변을 찾았습니다. 초기 대수와 최종 대수 의 정리 3.1.12 : Adamek, Milius 및 Moss 의 조사 .

답은 그러한 모든 함수에 하나의 서 수가 충분하지 않다는 것입니다. 그들은 임의로 커집니다.

보다 정확하게 $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$답은 모든 것보다 큰 첫 번째 정규 서수입니다 .$A_i$. 우리는 말을$\alpha$ 모든 경우에 규칙적입니다 $\beta < \alpha$, 모두 $\beta$색인화 된 서수 체인 < $\alpha$ 최고가있다 < $\alpha$. 대충,$\alpha$ 작은 서수의 작은 체인에서 도달 할 수 없습니다.

핵심 결과는 $\alpha$ 정기적 인 서수 $\alpha$-분기 나무의 깊이는 < $\alpha$.

비공식적으로, 나는 그것을 $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ (즉 $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$) "맞춤" $A_k \rightarrow F^j(0)$여기서 . 즉, hold는 가 규칙적이고 이므로 정확하게 됩니다.$j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$$j < \alpha$$\alpha$$|A_k| < \alpha$

따라서 각 에 대해 입니다 .$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$$k$

따라서 s 및 걸쳐 이것을 확장하면 다음 과 같습니다. 이므로 의 고정 점에 도달합니다 .$+$$\times$$F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$$\alpha$

Set을 넘어서이 논쟁을 일반화하는 방법은 분명하지 않습니다. 우리는 어떻게 가지고 가는가 colimits을 -indexed?$A_k$