모노톤 양자 회로의 개념

계산 복잡성에서 모노톤과 일반 계산 사이에는 중요한 차이가 있으며 Razborov의 유명한 정리는 3-SAT 및 MATCHING이 모노톤 부울 회로 모델에서 다항식이 아니라고 주장합니다.

내 질문은 간단합니다 : 모노 톤 회로 (또는 둘 이상)에 대한 양자 아날로그가 있습니까? 양자 라즈 보 로프 정리가 있습니까?

당신은 실제로 두 가지 다른 질문을하고 있고, 둘 다에 대한 단일 응답이 있기를 바라고 있습니다 : (1) 양자 모노톤 회로의 자연 개념은 무엇입니까? (2) 격자 기반의 Razborov 스타일 양자 결과는 어떻게 생겼습니까?

동시에 두 가지를 달성하는 방법은 분명하지 않으므로, 양자 단조 회로의 합리적인 개념 (해당 Razborov 결과가 있는지 여부를 나타내지 않음)과 완전히 다른 개념을 설명하겠습니다. "자연적인"양자 라즈 보 로프 추측의 모습

우리가 양자에서 원하는 것

주석에서 언급했듯이 단조로운 회로의 개념을 단일성으로 압축하려고 시도 할 필요는 없다고 생각합니다. 시간에 따른 진화가 표준 기반을 보존 할 필요가 없거나 결과가 뒤 얽힐 수있는 여러 측정 기준이 존재한다는 사실이든, 나는 양자 계산 의 사인 준이 아닌 것이 사실이라고 생각한다. 표준 기준 만이 유일한 기준은 아닙니다. 제품 상태 중에서도 일부 구현에서는 참조 프레임 선택만으로 정의됩니다.

우리가해야 할 일은 전통적 특권 장소에서 표준 기반을 제거하는 방식으로, 또는이 경우 의미있는 단 조성 개념을 유지하면서 가능한 한 많은 것들을 고려하는 것입니다.

양자 모노톤 회로의 간단한 모델

이토 츠요시 (Tsuyoshi Ito)의 "모노톤 양자 채널 (monotone quantum channels)"에 대한 암시 적 회로 모델을 생각해 보자.

하자 의 에르 미트 (Hermitian) 연산자의 공간 일 (그래서 하나 큐빗 모든 밀도 연산자를 포함). 양자 모노톤 게이트 어떻게 정의 두 입력 큐빗 에서 출력 큐빗 까지 효과적으로 고전적이지 않은 방식으로 모노톤 게이트? 출력이 으로 제한되어서는 안된다고 말하는 것이 간단하다고 생각합니다또는또는 이들의 혼합물; bu는 "모노톤 (monotone)"이되어야합니다. and C 2 G : H a ⊗ H b → H c a , b c | 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G(ρ a b )| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$ 증가, 값 은 않아야합니다. 2- 입력 큐 비트 게이트의 경우 이는 가 원칙적으로 다음과 같이 구현 가능해야 함을 의미합니다.$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. 정규 직교 기준에 따라 2 큐 비트 측정 수행 , 여기서 해밍 가중치 1의 부분 공간에 걸쳐 있고| μ ⟩ , | ν $\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. 출력으로 측정 한 결과에 해당하는 를 출력으로 생성합니다. 여기서각 에 대해 .⟨ 1 | ρ 00 | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ λ | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ 11 | 1 ⟩ λ ∈ { μ , ν $\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

회로는 합리적인 방식으로 이들을 구성한 것입니다. 또한 및 을 단일 회로로 포함하는 회로 형태로 팬 아웃을 허용 할 수도 있습니다 . 각 (명목상 고전적인) 입력 비트를 복사 할 수 있도록 최소한 입력에서이 맵을 허용해야합니다.| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

그러한 게이트의 전체 연속체를 고려하거나 그러한 게이트의 유한 한 수집으로 제한하는 것이 합리적입니다. 임의의 선택은 회로에 대해 다른 "양자 모노톤 게이트 기반"을 발생시킨다. 다른 모노톤베이스가 갖는 특성을 고려할 수 있습니다. 미국 선택 될 수있는 완전히 독립적 단순성 제약에 따라; 의심 할 여지없이및이론 상으로는 이것을 요구할 이유가 없다. 분명히 AND와 OR는이 유형의 게이트입니다. 여기서과 ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$ρ μ = ρ ν = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$ρ μ = ρ ν = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| μ ⟩ | ν $\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$각각 또는 을 선택하십시오.$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

임의의 상수 k에 대해 , k 입력 1 출력 게이트를 포함하는 게이트베이스를 고려할 수도있다 . 이 경우 가장 간단한 방법은 게이트 를 허용하는 것입니다 위와 같이 구현되어 하위 공간 각 해밍 가중치 및 각V w ⩽ H ⊗ k 2 0 ⩽ w ⩽ k max | ψ ⟩ ∈ V$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . 이것이 당신에게 얼마나 많은 추가 계산 능력을 제공하는지는 명확하지 않습니다 (전통적인 경우조차도).

고전적인 경우를 넘어서서 그러한 회로에 대해 흥미로운 점이 있는지는 모르겠지만 이것이 "양자 모노톤 회로"의 가장 유망한 후보 정의 인 것 같습니다.

Razborov의 결과에 대한 양자 변형

고려 팀 Gowers하여 박람회 의 결과 아론 & Boppana (1987), Combinatorica 7 쪽. 1-22 Razborov의 결과를 강화 (자신의 기술을 명시 적으로 어떤 수) CLIQUE의 모노톤의 복잡성을. Gowers는 "반쪽 공간"에서 시작하여 집합 패밀리의 재귀 적 구성 측면에서이를 제시합니다. 각각에 대한 부울 큐브 . Quantum Lovász Local Lemma 와 유사하게 기본 집합에서 표준 기준의 우선 순위를 제거하면 의 부분 공간을 고려할 수 있습니다 1 ⩽ J ⩽ N H ⊗ N 2 N J ⩽ H ⊗ N 2 J = U J E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$측정에서 발생할 수있는 이진 제안 (상태가 부분 공간에 속하는지 또는 그에 직교하는지)에 해당 예를 들어, 우리는 의해 주어진 부분 공간 고려할 우리 는 부분 공간의 결합과 분리에 대한 양자 논리적 인 유사체를 허용한다 : $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$∧ B = ∩ B ; A ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ CΠCCΠK(r)r”ΠC−ΠK(r)”∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ 우리는 다음 접속사와 스페이스 disjunctions 재귀 구조가 공간을 얻기 위해 요구되는 시간을 물어 ,되도록 프로젝터 상 상이 약간 프로젝터 크기 크릭을 갖는 그래프의 표시기 기능에 의해 스팬 된 공간에 ; 예를 들어$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. 단조로운 부분은 양자 논리 연산에 관여하며, 입력에 대한 원시 제안도 양자입니다.

분리가 블랙 박스 측정을 사용하여 복사의 유한 수를 측정하여 확실하게 얻을 수있는 지식에 해당하지 않는 : 일반적인 경우, 계산 문제로이 치료에 문제가있는 것입니다 및 만, 통근 프로젝터의 이미지가 아닌 한. 이 일반적인 문제는 여전히 기하학 조합의 복잡성에 대한 흥미로운 결과로 취급 될 수 있으며 좌절 된 지역 Hamiltionians와 관련된 결과를 야기 할 수 있습니다. 그러나 하위 공간 요구하는 것이 더 자연 스러울 수 있습니다.B A j U $\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$통근 프로젝터에서 발생합니다.이 경우 분리는 해당 프로젝터의 측정 결과에 대한 고전적인 OR 일뿐입니다. 그러면 우리는 단일 모두 동일 할 것을 요구할 수 있고, 이것은 모노톤 고전적인 후 처리 (그 이벤트에 대한 논리 연산을 수행하는)와 함께 단일 회로 ( "원시 이벤트"를 발생시키는)에 관한 문제가된다.$U_j$

또한 공간에 대한 추가 제한을 적용하지 않으면 표준 공간 상태 와 같은 일부 공간 과 겹치는 하위 공간이 될 수 있습니다 . 이진 문자열입니다 .E ⊥ k x ∈ ˉ E k x k =$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• 이 가능성으로 인해 이 항상 가 최소한 과 분리 각도를 요구할 수 있습니다 (우리의 프리미티브 서브 스페이스는 최악의 경우, 비트 중 하나가 1로 설정된 서브 스페이스로부터 거의 편향되지 않음).E ⊥ k$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• 이러한 제한을 적용하지 않으면 과 겹치는 부분 공간을 허용하는 것이 어쨌든 CLIQUE (r)를 근사화하는 데 장애가 될 것 같습니다. 특정 에지가 존재하지 않고 특정 에지 가 없는지 고려하는 데 다소 제한을 받거나 에지 중 하나를 완전히 무시해야합니다. 따라서, "단순한 양자 제안에서 CLIQUE를 단시간에 평가하는 방법을 고려하는 , 에 대한 제한을 적용하는 것이 대단히 중요하지 않다. ". 최악의 경우, 입력에서 NOT 게이트를 허용하는 것 (그리고 부정 후에 모든 팬 아웃이 발생하는 것)에 고전적입니다. A$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

다시 말하지만, 의 임의의 하위 공간으로 기본 세트를 대체하는 것이 단지 하위 공간을 사용하는 것보다 더 흥미로운 문제를 야기 하는지 여부는 분명하지 않습니다 ; 비록 우리가 CNF 공식 (통근 또는 비 통근의 경우)으로 자신을 제한한다면, 우리가 얻는 결과는 근거가없는 해밀턴 인의 복잡성에 대한 근거에 근거 할 것입니다. 도당을 나타내는 상태. E의$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Robin과 Tsuyoshi의 의견에서 알 수 있듯이 모노톤 회로의 개념은 양자 회로로 쉽게 확장 될 수있는 것으로 보입니다.

양자 모노톤 회로의 의미있는 정의를 갖기 위해서는 단조도가 정의 된 양자 상태에 대한 순서를 선택해야합니다. 일반적으로 합리적인 옵션 (그리고 단조로운 회로의 정상적인 개념으로 이어지는 옵션)은 해밍 가중치이지만 임의의 함수 의해 주어진 순서를 고려해 봅시다 .$f$

폐쇄 양자 시스템의 진화 (우리가 주어진다 가정 할 수있는 단일이기 때문에 ), 다음 각 국가에 대한 이되도록 다른 상태가 존재 이되도록 만있는 , 따라서 진화 단순하지 않다.$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

이와 관련하여 단조되는 전용 회로 해당되는 모든 . 에 대해 단조 따라서 모든 게이트 세트 로 출퇴근 게이트로 구성된다 .F ( U | ψ ⟩ ) = F ( | ψ ⟩ ) | ψ ⟩ F $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

분명히, 이것을 만족시킬 수있는 게이트 세트는 의 정의에 의존한다 . 가 일정 하다면 , 모든 게이트 세트는 그것에 대해 단조로울 수있다. 그러나 계산 기준 에서 고전적인 경우에 사용 된 의 자연스러운 확장 인 를 해밍 가중치 상태로 선택 하면 흥미로운 구조를 얻게됩니다. 부과 된 제한은 해밍 중량이 변하지 않은 상태로 유지되어야합니다. 이 양을 대각선 연산이나 부분 SWAP 또는 이들의 조합으로 유지하는 연산입니다. 이 구조는 물리학 (타이핑 바인딩 모델 등)에서 매우 자주 나타나며 Aaronson과 Arkhipov 가 연구 한 Boson 산란 문제와 유사합니다.f f $f$$f$$f$$f$동일하지는 않지만 (약간 다른 산란 문제입니다). 또한 IQP 회로가 포함되어 있으므로 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션 할 수 없습니다.

당신은 기본적으로 수학에서 "브리지 정리 (bridge theorem)"라고 불리는 가능성에 대해 두 개의 큰 분야, 즉 부울 회로와 QM 컴퓨팅의 경계에서 광범위하게 난이도에 대한 두 가지 질문을합니다.

• 모노톤 회로의 양자 아날로그

• Razborovs thm의 양자 아날로그

짧은 솔직한 대답은 지금까지 아니 거나 그렇지 않습니다 .

(1)은 어려운 질문이 아니지만 여전히 거의 고려되지 않았기 때문에 문헌에서 관련 사례로 간주 될 수있는 다음 참조를 제시했다.

Gharibian과 Kempe의 양자 문제 에 대한 근사 경도

QMSA, "Quantum Monotone Minimum Satisfying Assignment, QMSA", 즉 SAT QM 유사체와 같은 양자 맥락에서 일부 "모노톤"문제를 고려합니다. (또 다른 문제 Quantum Monotone Minimum Weight Word, QMW) 및 근사 경도 결과, 즉 하한을 보여줍니다. 그들은 모노톤 양자 회로 자체를 고려 하지는 않지만 모노톤 함수 QMSA 를 해결하는 양자 회로 또는 알고리즘이 QM 아날로그로 간주 될 수 있다는 아이디어가있을 수 있습니다.

(2) 존재한다면 "지금까지"보이지 않는 매우 진보 된 결과 일 것이다. 라즈 보 로프의 계산법은 기본적으로 (모노톤) 회로 이론에서 뚜렷한 돌파구와 거의 비교할 수없는 결과로 간주되는 하한 "병목 현상"유형 결과입니다.

물론 대략적으로 그렇습니다. 예를 들어 직접 제품 이론과 관련하여 QM 컴퓨팅에서 발견되는 하한 병목 현상이 있습니다.

Spalek의 양자 알고리즘, 하위 경계 및 시공간 트레이드 오프

그러나, 더 나은 유사 QM 컴퓨팅 하한은 쿼 비트 연산의 수에 하한을 두거나 모노톤 기능을위한 Toffoli 게이트와 같은 "완전한"게이트를 기반으로합니다. 이 유형의 증거를 모릅니다.

다른 접근법은 게이트를 가역적으로 만들기 위해 여분의 "ancilla"비트가 추가 된 특수 양자 AND 및 OR 게이트로 분석을 제한 할 수 있습니다.