그래프의 조합 임베딩

여기 : http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (장 포함)는 평면 그래프 의 조합 포함 에 대한 정의가 제공됩니다 . (얼굴의 정의 등으로) 어떤 그래프에도 쉽게 사용할 수 있지만 평면 그래프를 오일러 공식이 보유한 그래프로 정의합니다 (그래프가 연결된 것으로 가정). 모든 평면 그래프에 대해 조합 임베딩에서면의 정의는 토폴로지 임베딩에서면의 정의와 유사 하다는 것을 이해할 수 있습니다. (그래프가 연결된 것으로 가정합니다. 그렇지 않으면 조합 임베딩에서 연결된 모든 구성 요소에 대해 무한한면을 갖게됩니다)

문제는 연결된 그래프의 경우 조합 임베딩이 오일러 공식을 충족시키는 경우이 그래프가 위상 적으로 평면적이라는 것을 의미합니까 (평면 임베딩, 즉 평면 그래프)?

이것은 실제로 그래프 자체에 대한 것이 아니라 토폴로지에 대한 것입니다. 조합 임베딩은 모든 점이 2 차원 개방 디스크에 대해 동종이있는 인접 공간을 갖는 토폴로지 공간 인 2- 매니 폴드를 정의합니다. 임베딩을 통해면을 정의 할 수 있으며 각 디스크를 선택하여 토폴로지 공간을 정의 할 수 있습니다 그래프 가장자리를 따라 서로 붙입니다. 토폴로지에서 잘 알려진 이론 (2- 매니 폴드 분류라고 함)은 정확히 어떤 2- 매니 폴드가 가능한지 알려주며, 오리엔트 가능 여부 또는 동일한 오일러 특성 (또는 둘 다)인지에 의해 모두 서로 구별됩니다. ) — http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdf 참조이 주제에 대한 합리적인 강의 노트를 위해 여기에는 원하는 증거가 포함됩니다. 이 분류에는 구와 동일한 오일러 특성을 가진 다른 2 매 매니 폴드가 없으므로 오일러 특성을 계산하고 구의 수식과 일치하는 것을 발견하면 포함이 구에 있어야 함을 알 수 있습니다.

평면 조합 임베딩이 있으면 평면에서 실제 기하 좌표를 사용하여 임베딩을 찾는 것은 완전히 사소한 것이 아니라 Schnyder woods 이론을 사용하여 수행 할 수 있습니다. 예를 들어 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ 에 강의 노트가 있습니다.