에서 균일하게 분포 된 점 세트에서 욕심 스패너의 가장 긴 가장자리 길이

하자 세트 일 수 의 점 . 임의의 에 대해, 스패너 는 유클리드 측정 하에서 가중치가 부여 된 무 방향 그래프 이며, 따라서 임의의 두 점 , 에서 의 최단 거리 , 기껏입니다 사이 배 유클리드 거리 및 ,이 정의는 임의의 측정 공간으로 쉽게 확장 될 수 있습니다.$P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$d ( v , u ) t v u | v u $G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$

와 를 입력으로 사용하는 다음 알고리즘을 고려하십시오 .$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

이 알고리즘은 소위 욕심 스패너 (또는 경로 욕심 스패너)를 계산합니다. 이 그래프는 상당한 연구를 거쳤습니다. 실제와 이론 모두에서 매우 우수한 스패너를 생성합니다.

가 (d = 2 인 경우 )에도 균일하게 분포되어 있으면 욕심 많은 스패너에서 가장 긴 가장자리의 길이에 관심이 있습니다. 이 최대 길이는 최대 약 이며 일부 로그 요소와 요소 수 있다고 생각 합니다. 이 추측은 실험 데이터에 의해 동기가 부여됩니다.[ 0 , 1 ] d 1 / $P$$[0,1]^d$$1 / \sqrt{N}$$d$

가장 관심있는 이유는 가장 긴 가장자리의 길이가 비교적 짧은 경우 욕심 많은 스패너를 빠르게 계산하는 알고리즘을 가지고 있기 때문입니다. 위의 내용이 정확하면 알고리즘이 위의 시나리오에 적용 가능하므로 실제로 유용 할 수 있습니다.

무작위로 분산 된 포인트 세트의 가장자리 수와 다른 유형의 스패너의 정도를 분석하는 논문이 있지만 가장 긴 가장자리의 길이는 없습니다. 관련된 확률 이론은 다소 복잡해 보였으므로 직접 증거를 시도하기 전에 무언가가 알려지기를 바랐습니다.

우리의 종이에 욕심 스패너의 배포에 민감한 건설 우리는이 다음 (정리 4와 보조 정리 6 결합) 증명 (ESA 2014 년 가능)

존재 만에 의존 t 되도록 모든 대 C > 0 , 만약 P가 균일하게 독립적으로 랜덤하게 분산 된 점의 집합 인 $c_t$$t$$c > 0$$P$ 제곱과n은 충분히 크므로 적어도1-nc의확률로P의 욕심 많은t스패너의가장자리는c⋅ctlogn보다 길지 않습니다.$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

에 대한 우리의 한계 는 상당히 크지 만 '오른쪽'한계가 1 이라는 실험적 증거가 있습니다.$c_t$ .$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$