하나는 증명할 수

결과 1 : Linial-Mansour-Nisan 정리에 따르면 회로에 의해 계산 된 함수의 푸리에 가중치 는 작은 크기의 부분 집합에 높은 확률로 집중되어 있다고합니다 . $\mathsf{AC}^0$

(2) 결과 : 공동 효율적인 정도에 집중된 푸리에 중량 갖는 . $\mathsf{PARITY}$ $n$

질문 : 결과 1과 2를 통해 회로에서 를 계산할 수 없음을 증명할 수있는 방법이 있습니까? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— 스타트 라브
소스

이것이 Linial-Mansour-Nisan 정리의 명백한 적용이 아닙니까? LMN 정리가 증명되는 방법 (특히 확률 론적 논증에 의해 증명되는지 여부)은 관련이 없습니다.

— 이토 쓰요시

동시에 리니 얼-만수르-니산 정리는 하 스타드 정리를 가정함으로써 증명되지 않습니까? 그것은 나 자신의 꼬리를 쫓는 개처럼 보인다 ...

— Alessandro Cosentino

이것은 패리티에 근접한 AC0 회로의 크기에 대한 하한이 Ryan O'Donnell의 노트 에서 도출되는 방법 입니다. 계약 32 참조.

— Sasho Nikolov

더 흥미로운 질문은 귀하의 의견에 있다고 생각합니다. 푸리에 스펙트럼이 소형 AC0 회로로 계산 가능한 저수준 계수에 집중되어있는 모든 함수입니다.

— Sasho Nikolov

@Strattav 그러면 당신은 그 질문을 할 수 있습니다.

— 타이슨 윌리엄스

LMN 정리에 따르면 f가 M 크기 의 회로로 계산할 수 있는 부울 함수 , $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{에스 : | 에스 | > 케이} \hat{에프} (에스)^{2} \leq 2^{- Ω (케이 / (로그 미디엄)^{디 - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{에프} ([엔]) | \leq 2^{- Ω (엔 / (로그 미디엄)^{디 - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (엔 / (로그 미디엄)^{디 - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

$poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

$PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— 툴라시
소스