부울 함수의 푸리에 분석이 왜 작동합니까?

수년에 걸쳐 많은 TCS 정리가 이산 푸리에 분석을 사용하여 증명되는 것을 보았습니다. Walsh-Fourier (Hadamard) 변환은 속성 테스트, 의사 난수, 통신 복잡성 및 양자 컴퓨팅을 포함하여 TCS의 거의 모든 하위 필드에서 유용합니다.

문제를 해결할 때 부울 함수의 푸리에 분석을 매우 유용한 도구로 사용하는 것이 편했지만 푸리에 분석을 사용하는 경우에 대해 꽤 좋은 직감이 있지만 좋은 결과를 얻을 수 있습니다. 나는 이러한 기초 변화가 그렇게 유용한 이유가 무엇인지 확실하지 않다는 것을 인정해야한다.

TCS 연구에서 푸리에 분석이 그토록 유익한 이유에 대해 누구나 직감이 있습니까? 푸리에 확장을 작성하고 약간의 조작을 수행하여 너무 많은 겉보기 어려운 문제가 해결되는 이유는 무엇입니까?

참고 : 지금까지 저의 주요 직관은 다항식의 동작에 대해 잘 이해하고 있으며 푸리에 변환은 함수를 다중 선형 다항식으로 보는 자연스러운 방법이라는 것입니다. 그러나 왜 구체적 으로이 기초? 패리티의 기초에서 무엇이 독특합니까?

여기에 경험이 많은 사람이 아마 더 좋은 대답을 줄 수 있지만 내가 가이 킨에서 배운보기, 내 관점은 다음과 같습니다 함수의 선형 공간을 고려 , 위의 함수를 함수에 매핑하는 ( 형식)의 선형 연산자를 고려하십시오 . TCS의 많은 문제에서 그러한 운영자가 특정 기능에 미치는 영향을 분석해야 할 근본적인 필요성이 있습니다.$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$

이제 핵심은 푸리에 기준이 모든 해당 연산자를 동시에 대각선 화하는 기준이므로 해당 연산자의 분석이 훨씬 간단 해집니다. 더 일반적으로 푸리에 기준은 컨볼 루션 연산자를 대각선으로 표시하며, 이러한 질문 중 많은 부분에 기초합니다. 따라서 푸리에 분석은 해당 연산자를 분석해야 할 때마다 효과적 일 수 있습니다.

그런데 푸리에 분석은 유한 그룹의 표현 이론의 특별한 경우입니다. 이 이론은 함수 의보다 일반적인 공간을 고려합니다 여기서 는 유한 그룹이고 를 )에 매핑하는 ( ) 형식의 연산자 , 이론은 일반 그룹의 경우 실제로 연산자를 대각 화하지 않아도 이러한 연산자를 쉽게 분석 할 수있는 기초를 찾을 수있게합니다.$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

다음은이 질문에 대한 또 다른 내용입니다.

의사 부울 함수가 k- 바운드 인 경우, 함수의 Walsh 다항식 표현을 k 하위 함수로 분해 할 수 있습니다. 모든 선형 항은 하나의 하위 기능으로, 모든 쌍별 상호 작용은 하나의 하위 기능으로, 3 방향 상호 작용 등으로 수집됩니다.

이들 하위 함수 각각은 "초등 적 경관"이고, 따라서 각 하위 함수는 라플라시안 인접 행렬의 고유 벡터 (즉, 해밍 거리 1 부근)입니다. 각 하위 기능에는 모든 기본 풍경에서 볼 수있는 해당 유형의 "파형 방정식"이 있습니다. 현재를 제외하고는 k 개의 방정식이 결합되어 있습니다.

파동 방정식을 알면 정확한 검색 공간을 해당 검색 공간을 통계적으로 특성화 할 수 있습니다. 평균 및 분산을 계산하고 임의의 (지수 적으로 큰) 해밍 볼과 검색 공간의 임의의 초평면에 대해 기울어 질 수 있습니다.

초등학교 풍경에 관한 Peter Stadler의 작업을 참조하십시오.

Andrew Sutton과 I (Darrell Whitley)는 이러한 방법을 사용하여 유사 부울 최적화를위한 로컬 검색 알고리즘을 이해하고 개선했습니다. Walsh 다항식을 사용하여 로컬 검색 알고리즘의 개선 된 동작을 자동으로 식별 할 수 있습니다. 검색 공간의 주변을 무작위로 열거 할 필요는 없습니다. Walsh 분석을 통해 개선 이동 위치를 직접 알 수 있습니다.

상대적으로 젊고 활동적인 연구 분야이기 때문에이 질문에 대한 큰 대답은 아직 존재하지 않을 것입니다. 예를 들어 1987 년의 부울 함수에 관한 Ingo Wegeners의 종합 서적은 주제에 관한 내용이 없습니다 (DFT의 회로 복잡도 분석 제외).

간단한 직감 또는 추측은 높은 푸리에 계수가 클수록 많은 입력 변수를 고려해야하므로 많은 게이트가 필요한 하위 기능의 존재를 나타냅니다. 즉, 푸리에 팽창은 부울 함수의 경도를 정량적으로 측정하는 자연스러운 방법 인 것 같습니다. 이것은 직접적으로 입증되지는 않았지만 많은 결과에서 암시되었다고 생각합니다. 예를 들어 Khrapchenkos 하한은 푸리에 계수와 관련 될 수 있습니다. [1]

푸리에 분석이 광범위하게 사용되는 어느 정도까지는 EE 또는 다른 엔지니어링 분야에서 또 다른 거친 유추를 빌릴 수 있습니다. EE 필터 / 신호 처리에 자주 사용됩니다 . 푸리에 계수는 필터의 특정 "대역"을 나타냅니다. 또한 "잡음"은 특정 범위의 주파수 (예 : 낮음 또는 높음)에서 나타나는 것처럼 보입니다. CS에서 "잡음"에 대한 비유는 "무작위성"이지만, 무작위성 (randomness)은 기본적으로 복잡성과 동일하다는 많은 연구 (예를 들어 [4]에서 이정표에 도달)에서 명확하다. (경우에 따라 "엔트로피"도 같은 맥락에서 나타납니다.) 푸리에 분석은 CS 설정에서도 "노이즈"를 연구하는 데 적합한 것으로 보입니다. [2]

또 다른 직관이나 그림은 투표 / 선택 이론에서 나옵니다. [2,3] 부표 기능을 분석하여 결과에 "투표"하고 영향을 미치는 하위 구성 요소를 갖는 것이 도움이됩니다. 즉, 투표 분석은 기능에 대한 일종의 분해 시스템입니다. 이것은 또한 수학적 분석의 최고점에 도달하고 부울 함수의 푸리에 분석을 사용하기 이전의 투표 이론을 활용합니다.

또한 푸리에 분석에서 대칭 의 개념 이 가장 중요합니다. 함수가 "대칭"일수록 푸리에 계수가 더 많이 상쇄 될뿐만 아니라 함수가 계산하기에 "더 단순"합니다. 그러나 "무작위"와 그에 따라 함수가 더 복잡할수록 계수가 덜 소거됩니다. 다시 말해, 대칭 및 단순성, 반대로 비대칭 성 및 기능의 복잡성은 푸리에 분석이 측정 할 수있는 방식으로 조정 된 것으로 보입니다.

[1] Bernasconi, Codenotti, Simon 의 부울 함수 푸리에 분석

[2] De Wolf 의 부울 큐브 (2008)에 대한 푸리에 분석에 대한 간략한 소개

[3] O'Donnell 의 부울 함수 분석에 관한 몇 가지 주제

[4] Razborov & Rudich의 자연 증명