대칭 그룹의 표현 이론의 응용

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이 질문 , 특히 Or의 답변의 마지막 단락에서 영감을 얻은 다음 질문이 있습니다.

TCS에서 대칭 그룹의 표현 이론에 대한 적용을 알고 있습니까?

대칭 그룹 은 그룹 연산 구성을 사용하여 의 모든 순열 그룹입니다 . 의 표현은 에서 수없는 복소수 행렬 의 일반 선형 그룹에 대한 동질성입니다 . 표현은 행렬 곱셈에 의해 에 작용합니다 . 의 수없는 표현은 의 적절한 부분 공간이 변하지 않는 동작입니다. 유한 그룹을 표현할 수없는 표현으로 비 벨리 아 그룹에 대한 푸리에 변환 을 정의 할 수 있습니다. $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . 이 푸리에 변환은 사이 클릭 / 아벨 리아 그룹에 대한 이산 푸리에 변환의 멋진 특성 중 일부를 공유합니다. 예를 들어, 컨벌루션은 푸리에 기준으로 포인트 단위 곱셈이됩니다.

대칭 그룹 의 표현 이론 은 아름답게 조합 적입니다. 각각의 수없는 표현은 정수 파티션 해당합니다 . 대칭 그룹에 대한이 구조 및 / 또는 푸리에 변환이 TCS에서 애플리케이션을 찾았습니까? $S_n$ $n$

— 사쇼 니콜 로프
소스

또한 참조 대칭 그룹의 응용 프로그램 , 위키 백과

— vzn

모든 매우 흥미로운 답변. 받아 들일 것을 고르는데 어려움을 겪을 것입니다.

— Sasho Nikolov

괜찮은 순수하게 이론적 소개 / 개요, 영 타블로와 자오에 의해 대칭 그룹의 표현

— vzn

2

이 논문은 quant-ph arXiv : Janis Noetzel 의 대칭 그룹의 표현 이론을 사용하여 양 당사자의 전형적인 솔루션에 도달했습니다.

— 타이슨 윌리엄

Egner와 Puschel의 대칭 기반 행렬 분해 는 효율적인 행렬 분해 / 분해 / 곱셈을 위해 요소 와 표현 이론을 사용합니다 . Perm-Perm 대칭에 대해서는 S3.2를 참조하십시오.

S_{n}

$S_n$

— vzn

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다음은 몇 가지 다른 예입니다.

Diaconis와 Shahshahani (1981)는 거의 균일 한 순열을 생성하기 위해 얼마나 많은 무작위 전치가 필요한지 연구했다. 1/2 n log (n) +/- O (n)의 예리한 임계 값을 입증했습니다. 랜덤 조옮김으로 랜덤 순열 생성하기 .
Kassabov (2005)는 대칭 그룹에 경계 확장기를 구축 할 수 있음을 증명했습니다. 대칭 그룹 및 확장기 그래프 .
Kuperberg, Lovett 및 Peled (2012)는 k- 튜플에 균일하게 작용하는 작은 순열이 있음을 증명했습니다. 견고한 조합 구조의 확률 적 존재 .

— 샤차 로베 트
소스

3

Shachar에게 감사하고 cstheory에 오신 것을 환영합니다! 나는 당신의 링크를 해결하기 위해 자유를했다 : 그들은 약간 일치하지 않는했다

— Sasho 니콜 로프

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아주 좋은 질문입니다. 나는 완전한 대답을 모르고 스스로 알고 싶습니다. 그러나 다음과 같은 흥미로운 내용이 있습니다. 그룹 대신 0-Hecke monoid 을 고려하면 열대 -곱셈에 의해 작동하는 특정 정수 매트릭스 클래스에 대한 표현을 갖습니다 . 이것은 그리드와 같은 그래프의 다중 소스 최단 경로를 통해 문자열 학에서 많은 흥미로운 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 자세한 내용은 기술 보고서를 참조하십시오. $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. 티 스킨. 반 로컬 문자열 비교 : 알고리즘 기술 및 응용 프로그램. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— 알렉산더 티 스킨
소스

감사합니다! 이것은 매우 흥미로워 보이고 확실히 확인하겠습니다.

— Sasho Nikolov

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내가 아는 한 가지 예는 다음과 같습니다.

R.Raz, B.Spieker, ``통신 복잡성에 대한 '로그 랭크 (Log-Rank)'추측에서 ''

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

나는 훨씬 더 있다고 생각합니다.

— 클림
소스

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표현 모델이 무엇이고 어떻게 적용되는지 요약 할 수 있습니까?

— Vijay D

@VijayD는 아마도 Klim에 대해 더 잘 알고 있지만 여기서 문제는 의 통신 복잡성에 있습니다. 는 로그의 순위와 관련이 있습니다 ( 를 실수 행렬로 생각). 이들 구성은 랭크 및 CC . 의 랭크 의 정규 표현 행렬의 합으로 작성하여 계산

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho 니콜 로프를

실제로 나는 얼마 전에이 논문을 읽었으므로 지금은 정확하게 기억하지 못한다.

— Klim

11

다음은 양자 컴퓨팅의 예입니다.

롤랜드, 예레미; Roetteler, Martin; 마그닌, 로이 크; Ambainis, Andris (2011), "양자 상태 생성을위한 대칭 지원 대적", 2011 년 계산 계산 복잡성에 관한 IEEE 26 차 연례 회의, CCC '11, IEEE Computer Society, pp. 167–177, doi : 10.1109 / CCC. 2011.24

이들은 인덱스 삭제라는 특정 문제의 양자 쿼리 복잡성이 대칭 그룹의 표현 이론을 사용하여 임을 나타내며 양자 적대적 방법에 연결할 최적의 적대적 매트릭스를 구성합니다. $\Omega(\sqrt{n})$

— 로빈 코타 리
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컴퓨터 프로그래밍의 예술의 Knuth 3 권은 대칭 그룹의 표현 이론에서 중심이되는 조합 및 순열과 Robinson-Schensted-Knuth 서신 에 대한 검색 및 정렬 및 헌신에 전념 합니다.
Ellis-Friedgut-Pilpel과 Ellis-Friedgut-Filmus의 논문은 에 대한 고조파 분석을 사용하여 극한 조합 문제를 해결 합니다. TCS는 아니지만 꽤 가깝습니다. $S_n$
Ajtai는 90 년대 초반 에 계산 복잡성 질문에 의해 동기를 얻은 모듈 식 표현에 대한 훌륭한 결과를 얻었습니다 . 나는 세부 사항을 기억하지 못하거나 그것이 출판되었는지는 기억하지 못하지만 이것은 가치가 있습니다! $S_n$

— 길 칼라이
소스

고마워 길! Ajtaj의 논문 중 하나는 eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html 입니다. 나는 응용 프로그램이 비둘기 구멍 원리의 증명 복잡성에 있다고 생각하지만 아직 연결을 이해하지 못합니다.

— Sasho Nikolov

6

대칭 그룹 , Moore, Russell, Schulman의 강력한 푸리에 샘플링 무시

"우리는 강력한 푸리에 샘플링으로 대칭 그룹에 대한 숨겨진 부분 군 문제를 효율적으로 해결할 수 없음을 보여줍니다.이 결과는 그래프 동형 문제와 관련된 특수한 경우에 적용됩니다."

QM 접근법을 통한 그래프 동형 문제 해결과 관련

sec 5 대칭 그룹의 표현 이론

— vzn
소스

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컴퓨터 과학보다 더 많은 통계가 있지만 여전히 흥미 롭습니다. 확률과 통계의 그룹 표현에 대한 Diaconis의 논문 8 장에서 그룹 와 관련된 데이터에 대한 스펙트럼 분석 기술 이 개발되었습니다. 이것은 자연 가 실수 또는 추가중인 정수인 시계열 데이터의보다 고전적인 스펙트럼 분석을 확장 합니다. 데이터가 순위에 의해 주어질 때 를 하는 것이 합리적 입니다. 논문은 푸리에 계수 데이터의 계수를 해석합니다. 이 경우 데이터 세트는 희소 $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ 순위를 선호하는 모집단의 비율로 순위를 옮깁니다.

또한 같은 장에서 대칭 및 기타 그룹에 대한 푸리에 분석을 사용하여 분산 분석 모형 및 테스트를 도출합니다.

이것의 자연스러운 확장은 균일 분포에서 이진 분류에 대한 학습 이론이 부울 큐브에 대한 푸리에 분석의 이점과 유사한 방식으로 표현 이론 기법의 이점을 평가하는 통계 학습 이론입니다.

— 사쇼 니콜 로프
소스

그래도 문제 순위를 정하는 자연스러운 그룹 구조는 무엇입니까?

— Suresh Venkat

1

@Suresh 대칭 그룹을 염두에 두었지만 마지막 단락은 다른 것보다 더 희망적입니다. 나는 몇 가지 샘플에서 의 몇 가지 요소의 상대적 순서에 의존 하는 함수 을 배우는 순위에 대한 junta와 같은 문제를 염두에 두었습니다 . 푸리에 기법은 사소한 샘플 범위를 제공 할 수 있습니다.

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov

5

대칭 그룹의 표현 이론은 기하 복잡도 이론 접근 방식에서 결정 요인 또는 행렬 곱셈의 하한을 결정하는 데 중요한 역할을합니다.

Bürgisser와 Ikenmeyer 는 의 표현 이론을 사용하여 행렬 곱셈의 경계 순위에서 하한을 증명합니다 . $S_n$
의 표현 이론이 결정 요인의 하한과 관련되는 방법에 대해서는 기하 복잡성 이론 II : 클래스 다양성 및 기하 복잡성 이론 사이의 임베딩에 대한 명시 적 장애물을 향한 방향 VI : 양성을 통한 플립을 참조하십시오. $S_n$

— 조슈아 그로 호프
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Huangs Phd 논문, 확률 론적 이유 및 퍼미션 학습 : 대칭 그룹의 구조적 분해 활용 . 응용 프로그램은 "실제 카메라 기반 다 인칭 추적 시나리오"입니다.
Huang, Guestrin, Guibas의 순열 에 대한 푸리에 이론적 확률 론적 추론 ; 머신 러닝 리서치 저널 10 (2009) 997-1070. 예. sec 5. 대칭 그룹에 대한 표현 이론
다른 멀티 트랙킹 응용 논문. Kondor, Howard, Jebara 의 대칭 그룹 (2007) 을 사용한 다중 객체 추적
푸리에 계수, Irurozki, Calvo, Lozano (Dept CS / AI)에 의한 순열에 대한 확률 분포 학습 . 대칭 그룹의 초 2 푸리에 변환 참조

— vzn
소스

1

이 답변을 다른 학습 순열 참조와 병합하는 것이 좋습니다.

— Sasho Nikolov

좋아 ... 합병 ...

— vzn

참조 부분 순위 데이터의 푸리에 분석에서의 위상 스펙트럼 해석 및 위상의 중요성 : 순위 데이터의 푸리에 분석하는 신호 처리 방법 Diaconis 의해 훨씬 이전 작업을 확장하는 것 Kakarala 의해

— vzn

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Klin과 Pech에 의한 그래프의 색채 다항식의 계산을위한 대칭 그룹의 대표 이론의 적용

— vzn
소스

PS 어플리케이션 - 그래프 컬러링

— vzn

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Beals, 1997에 의해 인용 된이 STOC는 STOC가 대칭 그룹에 대한 푸리에 변환의 양자 계산이 BQP 즉 양자 다항식 시간 임을 증명하는 것으로 보입니다.

— vzn
소스

2

다시 이것은 당신이 말하는 다른 양자 종이와 함께갑니다. 비 벨리 안 푸리에 변환을 개발하는 주요 동기는 대칭 그룹에 대한 숨겨진 부분 군 문제를 해결하는 데 사용하는 것이 었습니다. 인용 한 다른 논문에서는이 방법으로 문제를 해결할 수 없음을 보여줍니다.

— Sasho Nikolov

BTW 명확하게하기 위해 : 나는 위의 코멘트와 함께 무엇을 의미하는 것은 다른 QM의 대답이 답변을 병합하고 (그들은 때문에) 두 가지가 관련되는 방법을 설명하기 위해 제안하는 것입니다

— Sasho 니콜 로프를

Ok Moore는 Beals 논문을 찾지 못했지만 Beals를 인용했습니다. 이제 나중에 그러나 바로이 빌즈가 어떤 이유에서 심판처럼 보인다 나던 일부 청중을 병합 수 (이전, 대체 등 ...?)

— vzn

잘 모르겠습니다. 괜찮은 참조라고 생각합니다. 나를위한 한 가지 문제는 비 앰비 언 푸리에 변환을 계산하는 것이 왜 중요한지 설명하지 않는 것입니다.

— Sasho Nikolov

1

나는 답변이 독자적으로 서서 독자에게 전체 논문을 읽을 지 여부를 결정할 수있는 단서를 충분히 제공하는 것을 선호합니다. 나는 재료에 대한 피상적 인 이해 이상의 것을 보여주기 위해 대답을 원한다.

— Sasho Nikolov

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더 오래된 예이지만, 최근 / 중요한 연구에 따르면,이 이론 중 일부 는 대칭 그룹의 요소로 여겨지 는 "완벽한 셔플" 수학에 나타나며 당시 유명한 발견이었습니다. [1]은 병렬 처리 알고리즘에 대한 완벽한 셔플과 Cooley-Tukey O (n log n) DFT에 대한 응용을 언급합니다. [2]가 더 최근입니다. 완벽한 셔플은 병렬 처리, 메모리 디자인 및 정렬 네트워크에서 나타납니다.

[1] Diaconis, Graham, Cantor 의 완벽한 셔플 수학 . 1983

[2] Ellis, Fan, Shallit (2002)의 다 방향 완전 셔플 순열의주기

[3] 1971 년 Stone 의 완벽한 셔플 을 이용한 병렬 처리

[4] 완벽한 셔플 링에 기반한 오메가 네트워크

[5] Yang et al (2012)을 이용한 병렬 및 순차적 인플레 이스 순열 및 완벽한 셔플 링

— vzn
소스

1

이 논문에서 표현 이론이 사용됩니까?

— Sasho Nikolov

특별한 경우 인 것 같습니다

— vzn

2

특별한 경우는 무엇입니까? 완벽한 셔플은 순열입니다. 나는이 논문의 증명에 표현 이론을 사용하고 있는가? 나는 아무것도 찾지 못했습니다.

— Sasho Nikolov

3

그렇지 않으면, (불완전한) 셔플 링의 확률 론적 모델이 있으며, 이들 모델 중 하나를 사용하여 반복 된 셔플 링은 순열에 대한 랜덤 한 걷기입니다. 대칭 그룹에 대한 푸리에 분석을 사용하여 이러한 랜덤 워크의 믹싱 시간을 분석 할 수있는 경우가 있습니다. Shachar는 랜덤 조옮김 셔플의 한 예를 제시했습니다. 참고 문헌은 흥미롭지 만 표현 이론과는 관련이 없습니다. 논문은 몇 가지 결정 론적 셔플과 이들이 생성하는 순열 그룹과 관련이 있습니다. 분석은 조합적인 것으로 보인다

— Sasho Nikolov

불완전한 셔플 링도 흥미롭지 만 답의 전체 부분은 완벽한 셔플 링입니다. 위의 동일한 결과가 표현 이론을 통해 다시 제시되거나 입증 될 수 있거나 명백한 / 직접적인 언급없이 그것의 일부 핵심 측면을 사용하고있는 것으로 보인다. 참고 shachars는이 답변의 논문 중 하나에서 동일한 저자 인 Diaconis를 인용합니다. 다시 말해서, 위의 저자들은 확실히 당신의 질문에 더 잘 대답 할 수 있지만 제 기대는 적어도 긍정적으로 대답 할 것입니다.

— vzn