랜덤 워크에서 고유 한 노드 수

연결된 그래프에서 통근 시간 는 노드 를 방문한 다음 노드 에 다시 도달 하기 전에 에서 시작하는 랜덤 워크의 예상 단계 수로 정의됩니다 . 기본적으로 두 번 치는 시간 와 입니다. $G=(V,E)$ $i$ $j$ $i$ $H(i,j)$ $H(j,i)$

출퇴근 시간과 비슷하지만 정확히 동일하지는 않지만 노드 측면에서 정의 된 것이 있습니까? 즉, 예상 수 무엇 별개의 노드는 랜덤 워크에서 시작 과에 반환 방문? $i$ $i$

업데이트 (2012 년 9 월 30 일) : 격자 (예를 들어, ) 에서 랜덤 워커가 방문한 별개의 사이트 수에 대한 많은 관련 연구가 있습니다. 예를 들어, 다음을 참조하십시오 : http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no $\mathbb{Z}^n$

아무도 이것에 대해 읽은 적이 있습니까?

— 파브리 치오 실베스트리
소스

다음과 같은 주장의 문제점은 무엇입니까? 그래프에서 임의의 보행은 상태가 노드 인 Markov 체인으로 설명 할 수 있습니다. 마찬가지로, 상태가 가장자리가 될 수있는 Markov 체인으로 동일한 도보를 나타낼 수 있습니다. (각 모서리에는 현재 방문한 노드 정보도 보유합니다.) Markov 체인이 확보되면 Markov 체인의 모든 정의 / 결과를 사용할 수 있습니다.

— Abuzer Yakaryilmaz

의견 주셔서 감사합니다. 실제로 별개의 노드 를 말하는 것을 잊었습니다 . 지금 질문을 수정하겠습니다.

— Fabrizio Silvestri

어쩌면 내가 놓친 것일 수도 있지만 (죄송한 경우) SE 게시물의 URL은 무엇입니까?

SE 게시물을 삭제했습니다 ... 동일한 질문을 두 곳에서 게시하는 것은 금지되어 있습니다.

— Fabrizio Silvestri

특정 그래프에 따라 다릅니다. 비슷한 문제에 대해 알려진 것을 스케치 할 수 있습니까?

— vzn

답변:

주석에서 Q & A 에서이 슬라이드 세트에서 스택 거리 로 정의 된 것을 연구하는 데 관심이있는 것 같습니다. 캐시의 수학적 모델링

참조 의 스택 거리 를 동일한 블록 번호에 대한 현재 참조와 이전 참조 사이의 고유 블록 주소의 수로 정의하십시오 .

벤치 마크를 통해 경험적 분석이 있습니다. 일반적으로 캐시 요청에 대해 "알려진 로컬 리티 측정"이 없다고 말한 다음 이러한 측정 값으로 스택 거리를 제안합니다. 주석에서 그러한 연결을 스케치하더라도 무작위 그래프 이론과 관련이 없습니다. (스택 거리가 마르코프 체인 혼합 과 관련이있는 것 같습니다 .)

캐시 요청을 그래프의 노드로, 에지를 인접한 요청 간 전환으로 간주하여 캐시 성능 또는 최적화 알고리즘 모델링에 관심이있는 것으로 보입니다. 이 그래프의 구조를 연구하는 논문을 보지 못했습니다. 실제로 캐시의 성공 과 위의 슬라이드에서 공간적 및 시간적 지역성 으로 인해 실제 응용 프로그램에서 순전히 무작위 그래프가 아닌 것으로 보입니다 . 즉, joe가 그의 답변에서 스케치하는 것처럼 일종의 "클러스터링".

(아마도 작은 세계 구조를 가지고 있습니까? 실제 세계 데이터에서 보편적으로 사용됩니다)

— vzn
소스

잘 잡았다. 실제로, 그것은 작은 세계 구조를 가지고 있습니다. 사실, 응용 프로그램에서 학위 배포는 권력 법칙을 따릅니다. 지금, 이것은 도움이 될 수 있습니다 ... 아직도, 우리는 갈 좋은 길을 찾지 못했습니다 :)

— Fabrizio Silvestri

고마워. 어떤 캐싱 매개 변수를 최적화하려고합니까? 어떻게 든 권력 법 지수와 직접적으로 관련이있는 것 같습니다 ....? 그 스택 거리가 지수 등 전원 법 관련이 보여줄 수있는 간단 몬테 카를로 접근 방법 의심

— vzn

α

$\alpha$

α

$\alpha$

= 1, < 1, > 1

$=1, < 1, > 1$

스택 거리가 그래프 이론에서 직접 연구되지는 않았지만 광대 한 분야 인 것 같습니다. 메모 w / strogatz 모델은 몬테 카를로에 대한 좋은 것은 작은 세계 그래프를 생성하는 접근한다. 또한 lovasz 의 그래프 에서 임의의 걷기는 임의의 그래프에서의 걷기 이론에 대한 좋은 조사입니다.

— vzn

한 의견 : 나는 최근에 브루스 리드 (Bruce Reed)가 ' 취한 기타 잡기 (Catching a Drunk Miscreant)' 라는 제목의 연설에 참석했다 . 이 작품에서 결과를 얻을 수 있다면 어떤 방향으로 도움이 될 수 있습니다.

일반적으로 그들은 강도가 가장자리를 따라 무작위로 움직이는 것을 알 때 경찰이 강도를 잡을 수 있도록 일반 그래프에서 필요한 단계 수의 상한을 입증합니다.

— 폴 GD
소스

초안 또는 슬라이드 사본을 가질 가능성이 있습니까?

— Fabrizio Silvestri

더 이상 줄 것이 없어서 미안하지만,이 MO 스레드는 도움이 될 것입니다 : 경찰과 술취한 강도 .

— Pål GD

고마워 Pål ... 나는 MO 스레드에서 연결된 종이를보고 있습니다.

— Fabrizio Silvestri

이것은 실제로 귀하의 질문에 대한 올바른 답변은 아니지만 의견을 제시하기에는 너무 깁니다.

이후의 수량은 그래프마다 다르며 보행기의 초기 위치에 따라 다릅니다. 예상되는 별개의 중간 노드 수는 그래프 내 클러스터링에 크게 의존 할 것이며 예상되는 별개의 중간 노드 수는 클러스터링 계수 와 상관 될 것으로 예상 됩니다.

클러스터는 기본적으로 많은 수의 모서리를 공유하는 정점의 하위 집합이므로 각 정점이 클러스터 내의 다른 정점의 상당 부분에 연결됩니다. 워커가 클러스터에 들어가면 많은 수의 홉 동안 해당 지역에 머무를 가능성이 있으며 각 노드를 여러 번 다시 방문 할 수 있습니다. 실제로, 이러한 방식으로 랜덤 워크를 사용하는 것은 큰 그래프에서 클러스터를 식별하는 데 사용되는 계산 기술 중 하나입니다. 따라서 클러스터에서 시작하는 워커의 경우, 예상되는 별개의 중간 정점 수는 클러스터의 크기와 클러스터를 떠날 수있는 평균 확률에 따라 확장 될 수 있습니다.

$N$ $\frac{1}{N}$ $N+1$

그래프 내의 평균 정점도 중요한 역할을하지만 클러스터링과 관련이 있습니다. 그 이유는 워커가 차수가 1 인 정점으로 점프 할 때 다음 홉의 이전 정점으로 홉핑해야하기 때문입니다. 차수가 2 인 경우에도 그래프를 통과 할 수있는 경로는 하나 뿐이지 만 각 홉에서 어느 방향으로나 이동할 수 있습니다. 반면에, 차수가 2보다 큰 그래프의 경우 경로 수가 폭발 할 수 있으므로 그 사이에 가장 짧은 경로가 작더라도 초기 사이트로 돌아갈 가능성이 거의 없습니다.

따라서 평균 정도가 실질적으로 2보다 높고 트리와 같이 유의미한 군집이없는 그래프에 대해 별개의 중간 정점 수가 많을 것으로 예상합니다.

물론 이러한 의견은 양자 랜덤 보행의 경우 더 이상 유지되지 않지만 고전적인 경우에만 관심이 있다고 생각합니다.

— 조 피츠 시몬스
소스