푸리에 가중치가있는 모든 기능이 AC0 회로로 계산 된 소형 세트에 집중되어 있습니까?

푸리에 가중치가있는 모든 함수가 회로에 의해 계산 된 작은 크기의 세트 (또는 낮은 정도의 용어)에 집중되어 있습니까? $\mathsf{AC}^0$

— 스타트 라브
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푸리에 분석에 대한 배경 지식이 부족하지만이 질문은 흥미로운 것 같습니다. 관련 문헌에 대한 언급을 부탁드립니다.

— Markus

@Markus : Ryan O'Donnell의이 책 2.0은 훌륭한 참고 자료입니다 : contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

Linial, Mansour, Nissan 1993에 대한 대화 ? aaronsons 결과, 일반화 Linial-Nissan에 대한 반례가 가까운 것 같습니까? 그러나 imho는 1993 년 결과를 어떻게 든 일반화 할 수있는 방법이 있어야한다. 아마도 큰 방식으로 ....

— vzn

반증하기 어려운 AC ^ 0 대신 다른 유사한 아이디어는 깊이 무제한이지만 일부 "작은"기능에 의해 제한되는 총 게이트 제한 회로는 다항식 등 ...? 또한 모노톤 회로와 푸리에 계수 사이의 관계는 잘 알려져 있지 않습니다 ...?

— vzn

또한 polylogarithmic 독립 바보 AC ^ 0 회로 braverman에 의해 참조

— vzn

답변:

아니요. 에서 다음 함수를 고려하십시오 . 분명히이 기능은 AC ^{0에 적합하지 않습니다} . 반면에 함수는 거의 일정하므로 푸리에 스펙트럼의 거의 모든 것이 첫 번째 레벨에 있습니다. $\{0,1\}^n$

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

균형 잡힌 반례를 원한다면 이 함수는 거의 항상 과 같으므로 거의 모든 푸리에 스펙트럼이 처음 두 레벨에 있습니다.

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— 유발 필름 러스
소스

AC0에서 함수를 근사 할 수없는 강력한 예가 있습니까?

— MCH

첫 번째 레벨 에 집중된 함수 는 항상 입력 에 따라 함수에 가깝기 때문에 레벨 에만 관심이 있다면 강력한 예는 없습니다.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus 푸리에 스펙트럼 레벨은 무엇을 의미합니까? 이 기능이 어려운 이유는 무엇 입니까?

A C^{0}

$AC^0$

@Arul 푸리에 레벨은 주어진 크기의 세트에 해당하는 모든 푸리에 계수로 구성됩니다. 우리는 그것들을 크기가 커지는 순서대로 생각합니다. 이 기능이 AC0에 어려운 이유는 연습입니다. 힌트 : 패리티는 AC0에 적합하지 않습니다.

— Yuval Filmus

"작은 크기"와 "농도"의 정확한 의미에 따라 질문을 이해하는 몇 가지 방법이 있습니다.

1) 부울 함수를 고려 하여 l-2 표준의 이 작은 크기의 에 집중 되면 대답은 '아니오'입니다. 대다수 함수는 l의 과 같은 예입니다. -2 norm은 경계 세트에 있고 . $1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) 부르 겐 (Bourgain) 이론은 농도가 대다수 함수보다 훨씬 높으면 함수는 대략 Junta이므로 O (1) 변수에 의존한다는 이론이 있습니다.

3) 당신은 | S | 의해 기술 된 분포에 대해서는 작다. 의 함수의 경우 총 영향은 최대 입니다. 총 영향이 O (1)이면 함수는 Junta에 가깝습니다 (즉, O (1) 변수에 따라 다름). $\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

4) 총 영향이 이면 가능하지만 함수가 의 함수에 가깝다는 것은 알 수 없습니다 . $O(\log n)$ $AC^0$

5) 총 영향이 이면 다른 가능성은 경계 깊이와 크기 의 함수입니다 . 총 영향 폴리 로그 (n)의 모든 기능이 그러한 기능에 근접 할 수는 있지만, 알려지지 않았다. $O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— 길 칼라이
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