평면 그리드에서 임의로 선택된 점에서 최단 하 밀턴 경로의 예상 길이는 얼마입니까?

$k$ 개의 개별 포인트가 그리드 에서 무작위로 선택됩니다 . (분명 이며 주어진 상수입니다.) 정점 와 정점 사이의 모서리 가중치가 원래 그리드에서 두 정점의 맨해튼 거리와 같도록 가중치 지점 에서 완전한 가중치 그래프가 작성됩니다. . $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

노드를 통과하는 가장 짧은 (최소 총 중량) hamiltonian 경로 의 예상 길이 를 계산하는 효율적인 방법을 찾고 있습니다. 보다 정확하게는 다음과 같은 순진한 접근 방식은 바람직하지 않습니다. $k$

$\bullet$ k 개의 모든 노드 조합에 대한 정확한 경로 길이를 계산하고 예상 길이를 도출합니다.

$\bullet$ 최소 스패닝 트리를 사용하는 기본 휴리스틱을 사용하여 최대 50 %의 오류를 발생시키는 k 노드의 모든 조합에 대한 대략적인 경로 길이를 계산합니다. (오류가 적을수록 휴리스틱이 향상되면 도움이 될 수 있음)

— 자바
소스

현재 평면 그리드에서 비가 중 해밀턴 경로 문제가 NP- 완전하므로 효율적인 알고리즘에 대한 희망이 없습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

당신이 hamiltonian 경로를 말할 때, 당신은 가장 작은 무게를 가진 hamiltonian 경로 (일명 여행하는 판매원 문제)에 대해 떨고 있습니까?

— a3nm

OP는 단순히 임의의 포인트에 대한 추정이기 때문에 @ MohammadAl-Turkistany HAM 경로의 경도는 반드시 장애물이 아닙니다.

— Suresh Venkat

@ a3nm 예, 고쳤습니다.

— Suresh Venkat

포인트 의 많은 무작위 샘플에 대한 정확한 여행 길이를 계산 하고 기대치와 표준 편차를 찾는 데 무엇이 문제입니까? 가 얼마나 커야합니까 ?

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— 피터 쇼어

그것을 가정 $p$ 과 $q$ 상당히 길면 예상 길이는 주로 밀도에 의존하고 주변에 따라 약간의 수정 항이있을 것으로 예상합니다. 따라서 우선 다음 형식의 함수가됩니다.

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

이제 더 작은 크기의 문제에 대한 실험을 사용하여 $f$ 과 $g$ 아르. 먼저, 추정 $f$ 경계없이 샘플에 대해 실험을 수행하려는 경우 가장 쉬운 방법은 $p\times p$ 왼쪽이 오른쪽에 연결되고 위쪽이 아래쪽에 연결되어 원환 체가 형성됩니다. 추정하기 $g$ 에 대한 실험을 사용할 수 있습니다. $p \times q$ 그리드.

추정을 위해서는 비교적 큰 TSP를 (정확하게 또는 대략) 풀어야합니다. 추정에 사용하는 TSP가 클수록 결과가 더 좋아집니다. 몇 퍼센트 이내에 제공되는 휴리스틱 또는 정확한 TSP 코드를 사용할 수 있습니다. 좋은 휴리스틱에 대해서는 여기 를 참조 하십시오 . Bill Cook의 Concorde TSP 솔버는 상당히 큰 인스턴스 (사용 가능한 최고의 TSP 코드)에 대한 정확한 최적 값을 찾게되며 학술 연구 비용없이 사용할 수 있습니다.

— 피터 쇼어
소스

TSPLIB 의 용어를 사용하여 TSP가 아닌 SOP를 찾고있었습니다. 곱하기

E [L]

$E[L]$ TSP에 의해 계산

(k - 1) / k

$(k-1)/k$ SOP에 대한 상한을 제공합니다. 불행히도 Concorde TSP 솔버는 SOP를 처리하지 않으며 온라인에서 SOP 솔버를 찾을 수 없습니다.

— Javad

나는 계산을 추측

E [L]

$E[L]$ 더 큰 경우

L

$L$ 와 더 작은

L

$L$ 의 균등하게 배포됩니다

E [L]

$E[L]$ 따라서 구성을 찾기위한 건설적인 접근 방식을 생각해 낼 수 있습니다.

k

$k$ 그리드에서 (약 아마) 제공하는 포인트

E [L]

$E[L]$ . 이러한 배열을 찾으면 계산 비용이 크게 줄어 듭니다.

— Javad

나는 또한 계수의 이유를 이해하지 못했다

k^{2}

$k^2$ . 왜 안 돼

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$ ? 이 근사 공식은 더 작은 값에 대해 어떻게 변경됩니까?

p

$p$ 과

q

$q$ ?

— Javad

@Javad : 좋은 질문입니다. 어떻게 든 생각하고 있었기 때문에 틀렸다

k^{2}

$k^2$ 내가 대답을 썼을 때 계수는

p \times q

$p\times q$ 그리드에는 단위 길이의 가장자리가 있으므로 전체 영역의 크기는

p \times q

$p \times q$ . 평균 모서리의 길이는 길어야합니다

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$ 이며

k

$k$ 가장자리, 그래서 당신이 원하는 경우

f

$f$ 대략 일정하게 유지하려면 첫 번째 용어는

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$ .

— 피터 쇼어

에 대한

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$ TSP 길이와 SOP 길이의 차이는 거의 무시할 수 있어야합니다.

— 피터 쇼어