랜덤 그래프의 해밀턴 사이클 수

우리는 . 그러면 다음 사실이 잘 알려져 있습니다.$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

임의 그래프의 해밀턴 사이클 수에 대한 결과를 알고 싶습니다.

Q1. 에서 예상되는 해밀턴 사이클의 수는 몇 개 입니까?$G(n,p)$

Q2. 확률이란 에지에 대한 확률 (P) 에 대한 G ( N , p는 ) ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

$(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$