경계 트리 폭이있는 그래프의 로그 공간 알고리즘

나무 너비 는 그래프가 나무에 얼마나 가까운 지 측정합니다. 트리 너비를 계산하는 것은 NP가 어렵습니다. 가장 잘 알려진 근사 알고리즘은 요소를 달성합니다. $O(\sqrt{{\log}n})$

Courcelle의 정리에 따르면 monadic 2 차 논리 (MSO2)로 정의 할 수있는 그래프의 속성은 제한된 트리 너비의 모든 그래프 클래스에서 선형 시간으로 결정할 수 있다고 합니다. 최근 논문에 따르면 "선형 시간"이 "logspace"로 바뀌었을 때 Courcelle의 정리는 여전히 유효합니다. 그러나 이것은 트리 폭이 제한된 그래프 에서 그래프 동형 의 공간 복잡성을 해결하지는 않습니다 . 가장 잘 알려진 결과 는 LogCFL에 있습니다.

다른 문제가 있습니까?

일반 그래프에서 NP-hard (또는 P로 알려지지 않음)
경계 나무 너비가있는 그래프에서 선형 / 다항식 시간으로 해결할 수있는 것으로 알려져 있으며
LogSpace에없는 것으로 알려져 있습니까?

— 시바 킨 탈리
소스

근사 계수에 언급 된 은 무엇입니까 ?

n

$n$

— gphilip

n

$n$ 은 입력 그래프의 꼭짓점 수입니다.

— 시바 킨 탈리

일반적으로 트리 폭을 근사화하는 데 보다 낫습니다 . 내가 아는 최고의 다항식 시간 근사 알고리즘은 근사 계수를 얻습니다. 여기서 는 그래프의 트리 폭입니다. Feige, Hajiaghayi 및 Lee, 최소 중량 정점 분리기의 근사 알고리즘 개선 , STOC 2005를 참조하십시오.

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

Tutte 다항식 이 예입니다.

이것은 색채 다항식 의 일반화로 , 그 자체는 합리적인 공식에서 # P-hard 문제입니다. 에서

경계가있는 나무 너비 , SD 귀족, 조합론, 확률 및 컴퓨팅의 그래프에 대한 Tutte 다항식 평가 , 1998,

시간 복잡도가 약 인 다항식 시간 알고리즘이 제공됩니다. 여기서 는 트리 폭이고 은 노드 수입니다. 관련 작품은 여기 에서 볼 수 있습니다 . 설문 조사의 경우 Arxiv 에 관한 기사가 있으며 섹션 8에서 복잡성 문제가 논의되었습니다. $O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$

자세한 정의에 익숙하지는 않지만 MSO2에서 직접 문제를 표현할 수없는 것 같습니다 ...이 문제가 필요한 것입니다.

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

기능 f는 무엇입니까?

— Michael Blondin

이 논문에 따르면, 그것은 순서 로 의 함수입니다 .

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Makowski는 "문헌에서 연구 된 모든 그래프 다항식은 SOL- 정의 가능하다"고 말하고 "동물원에서 동물학으로 : 그래프 다항식의 일반 이론으로"페이지 15의 SOL로 Tutte 다항식의 공식을 제공합니다. "Feferman-Vaught 정리의 알고리즘 사용"에서 그는 Courcelle의 정리를 확장하여 제한된 트리 폭 그래프에서 SOL 정의 가능 다항식에 대한 다루기를 보여줍니다.

— Yaroslav Bulatov