긍정적 인 토폴로지 순서

정점에 실수 가중치가있는 유향 비순환 그래프가 있다고 가정합니다. 토폴로지 순서의 모든 접두사에 대해 가중치의 합이 음이 아닌 DAG의 토폴로지 순서를 찾고 싶습니다. 또는 당신이 순서 이론 용어를 선호한다면, 나는 가중 부분 순서를 가지고 있으며 각 접두어가 음이 아닌 가중치를 갖도록 선형 확장을 원합니다. 이 문제에 대해 알려진 것은 무엇입니까? 다항식 시간에 NP- 완전하거나 해결할 수 있습니까?

이 문제는 Garey & Johnson의 문제 [SS7] 인 최대 누적 비용을 최소화하는 시퀀스와 매우 유사합니다 . 재치 :

INSTANCE : 집합 태스크 부분 순서 ≺ 에 T 하는 '비용' C ( t ) ∈ Z 각 t ∈ T IF ( C ( t ) < 0 , 그리고, 그것은 "이익"로 볼 수있다) 상수 K ∈ Z .$T$$\prec$$T$$c(t) \in Z$$t \in T$$c(t) < 0$$K \in Z$

질문 : 우선 순위 제약 조건을 준수하고 모든 작업 t ∈ T 에 대해 모든 작업 t '' 에 대한 비용의 합 과 σ ( t ′ ) ≤ σ ( T) 에 대한 단일 프로세서 스케줄 가 있습니까? t ) 는 최대 K 입니까?$\sigma$$T$$t \in T$$t'$$\sigma(t') \leq \sigma(t)$$K$

나는 때 문제가 NP-전체를 남아 있는지 불확실입니다 0 G & J 언급에 고정하는 문제는 NP-완료 유지하는 경우 C ( t ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } 모두를위한 t ∈ T .$K$$c(t) \in \{-1,0,1\}$$t \in T$

음, 내 대답은 내 질문입니다 .P 에서이 문제를 해결할 수 있다면 또 다른 열린 문제를 해결할 수도 있습니다. 긍정적 토폴로지 순서, 3을 취하십시오.

편집 :이 문제는 또한 NP- 완전한 것으로 판명되었으므로 DAG에 두 개의 레벨 만있는 경우 (예 : 두 개의 모서리가있는 지정 경로가없는 경우) 이미 NP- 완전한 문제입니다.

문제를 올바르게 이해하면 가중치 적용 완료 시간 (1 | prec | \ sum wc)을 최소화하기 위해 우선 순위가 제한된 단일 머신 스케줄링 문제를 원하는 문제로 줄일 수 있다고 생각합니다. 문제 1 | prec | \ sum wc에서 우리는 각각 음수가 아닌 가중치와 처리 시간, 작업에 대한 자세를 갖는 n 개의 작업을 가지고 있으며, 작업의 가중 합이 완료되도록 작업의 선형 확장을 원합니다. 최소화. 각 작업의 처리 시간이 1과 같다고 가정하더라도 문제는 NP- 완료입니다.

무게가 가장 적은 최대 요소 (부분 순서로)를 항상 취하면 어떻게 될까요? 요소를 모두 사용한 후에는 출력과 반대 순서로 반환합니다.

이 문제는 많은 의사 결정 트리를 상기시킵니다. 나는 항상 가장 유망한 길을 택하려고 노력하지만 전체 하위 그래프를 보면서이 유형의 솔루션을 고려할 것입니다.

싱크 노드에서 시작하여 소스를 향해 한 번에 한 단계 씩 작업하십시오. 이 작업을 수행하는 동안 모든 모서리에 가중치를 부여하십시오. 이 가중치는 "지불"해야 할 최소 금액을 나타내거나 가장자리가 가리키는 노드에서 시작하여 하위 그래프를 통과하여 "이득"할 수 있습니다. 우리가 레벨 i + 1에 있고 레벨 i로 올라가고 있다고 가정하자. 이것이 i 레벨의 노드를 가리키는 모서리에 가중치를 지정하는 것입니다.

1. edge_weight = 포인팅 _ 노드 _ 무게.
2. 최대 무게로 "포인팅 노드"에서 시작하여 모서리를 찾습니다. 이 가중치를 next_edge_weight로 설정하십시오.
3. edge_weight + = next_edge_weight

그런 다음 다음과 같이 순서를 작성하십시오.

1. S를 검색 프론티어, 즉 다음에서 선택할 노드 세트로 둡니다.
2. (node_weight + maximum_edge_weight)가 최대화되도록 노드를 선택하십시오.
3. 그래프와 S에서 노드를 제거하십시오. 노드의 "자식"을 S에 추가하십시오.
4. 그래프가 비어 있지 않으면 1 단계로 이동하십시오.
5. 정지.

아이디어는 나중에 음의 가중치 하위 그래프의 비용을 견딜 수 있도록 가능한 한 많은 이익을 얻는 하위 그래프를 탐색하는 것입니다.