두 밀도 매트릭스의 차이의 트레이스 규범이 하나 인 것은이 두 밀도 매트릭스가 동시에 대각선 화 될 수 있다는 것을 의미합니까?

이 질문에 대한 답은 잘 알려져 있습니다. 그러나 불행히도, 나는 모른다.

양자 컴퓨팅에서 혼합 상태는 밀도 행렬로 표현됩니다. 그리고 두 밀도 매트릭스의 차이의 미량 규범은 두 개의 해당 혼합 상태의 구별 성을 특징으로합니다. 여기서 미량 규범 의 정의 는 밀도 곱의 모든 고유 값의 합이며, 곱셈 계수 1/2 (두 분포의 통계적 차이에 따라)이 추가됩니다. 2 개의 밀도 매트릭스의 차이가 1 일 때, 대응하는 2 개의 혼합 상태는 완전히 구별 될 수있는 반면, 차이가 0 일 때, 2 개의 혼합 상태는 완전히 구별 될 수 없음이 잘 알려져있다.

내 질문은, 두 밀도 매트릭스의 차이의 트레이스 규범 이이 두 밀도 매트릭스가 동시에 대각선 화 될 수 있음을 의미합니까? 이 경우 이러한 두 가지 혼합 상태를 구별하기 위해 최적의 측정을 수행하면 동일한 도메인에서 분리 된 지원으로 두 개의 분포를 구별하는 것처럼 작동합니다 .

관심있는 사실을 증명하는 방법은 다음과 같습니다.

과 이 밀도 행렬 이라고 가정합니다 . 다른 모든 에르 미트 행렬 마찬가지로 차분 표현할 수있다 같은 위한 및 긍정적 인 semidefinite 직교 이미지를 구비한다. (이를 요르단-한 분해라고도합니다. 독특하고 의 스펙트럼 분해에서 쉽게 얻을 수 있습니다 .) 과 에 직교 이미지가 있다는 사실은 동시에 대각선 화 될 수 있음을 의미합니다. 관심있는 부동산입니다.ρ 1 ρ 0 − ρ 1 ρ 0 − ρ 1 = P 0 − P 1 P 0 P 1 ρ 0 − ρ 1 P 0 P $\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

차이 (곱하기 인수 1/2로 정의) 의 미량 규범은 이 수량이 1이라고 가정하면 및 결론을 내릴 수 있습니다. ” ρ 0 − ρ 1 ″ tr = $\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

이 결론을 려면 먼저 및 이므로 입니다. 다음으로, 과 을 각각 과 의 이미지에 직교 투영합니다 . 우리는이 그래서 두 및$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ 및 이라고 결론을 내릴 간격 [0,1]에 포함되어야합니다 . 이 방정식에서 및 하는 것은 않으므로 위의 방정식으로 입니다. 비슷한 주장은 입니다.$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$Π 0 ρ 1 = 0 P 0 = ρ 0 P 1 = ρ $\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

예. 두 밀도 행렬의 트레이스 거리가 1이면 직교 지지대를 가지므로 동시에 대각선 화가 가능합니다.