특정 계산 가능 속성을 가진 유한 그래프의 존재 / 비 존재를 보여주는 결과는 특정 복잡도 결과를 암시합니다

특정 계산 특성을 갖는 유한 그래프의 존재 (또는 존재하지 않음)가 특정 복잡성 결과 (예 : P = NP)를 암시한다는 알려진 결과가 있습니까?

완전한 가설적인 결과는 다음과 같습니다 . 유한 그래프에 모서리 A, B, C 및 D가 뚜렷한 경우 모든 최대 일치 항목에 A, B, C 및 D가 모두 포함되거나 A, B, C 및 D가 포함되지 않습니다 그런 다음 P = NP입니다.

Lipton은 "그래프에 큰 틈새가 없음을 증명할 때 : Ramsey 이론과의 연결"을 통해 이러한 종류의 결과를 입증했습니다 . 그는 하한 추측을 순수한 그래프 이론 결과와 연결하여$NP$ 에 포함되어 있지 않습니다 $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$,의 근사 $MAX-CLIQUE$깔끔한 Ramsey- 이론적 특성을 가진 그래프가 있음을 나타냅니다. (정의는 논문을 참조하십시오.) 그러한 그래프가 실제로 존재하는지 여부를 증명하는 데 진전이 있는지는 알 수 없습니다.

죄송합니다.이 1 살짜리 질문을 지금 만났습니다 ...

실제로, 일부 속성을 가진 명시 적 그래프는 부울 함수에 대한 강한 하한을 의미한다는 것을 보여주는 많은 결과가 있습니다. 예를 들어, 높은 아핀 또는 프로젝션 차원의 그래프는 수식 및 분기 프로그램에 대한 강한 하한을 의미합니다. 그래프의 "단순한"측정 값이 있으며, 계산 하한에 큰 영향을 미치는 좋은 하한값이 있습니다. 그들 중 일부를 스케치하겠습니다.

가장자리 세트로 그래프를 봅니다. 허락하다$s(G)$ 가장 작은 숫자이다 $s$ 그런 $G$ 교차로 작성 될 수 있습니다 $\leq s$ 각각의 조합 인 그래프 $\leq s$bicliques (이산 완전한 그래프). 쉬운 계산은$s(G)\geq n^{1/2}$ 거의 모든 이분 $n\times n$그래프. 그러나 Valiant의 결과에 따르면 모든 명시 적 이분 그래프$G$ (보다 정확하게는 일련의 그래프) $s(G)\geq n^c$ 일정하게 $c>0$오래된 문제를 해결할 것입니다 : 선형 크기의 로그 깊이 회로로 계산할 수없는 부울 함수를 제공합니다. 고밀도 그래프가없는 것으로 추측됩니다.$K_{2,2}$ 큰 $s(G)$.

더 나은, 보자 $Star(G)$ 가장 적은 수의 fanin-$2$ 생성하기에 충분한 유니온 및 교차로 작업 $G$ 완전한 별표로 시작 $K_{1,n}$ 또는 $K_{n,1}$). 계산은 대부분의 그래프가$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$. 그러나 어떤$G$ 와 $Star(G)\geq (4+c)n$ 일정하게 $c>0$지수 크기의 회로가 필요한 명시 적 부울 함수를 제공합니다! 그래프에 차원이있는 경우$m\times n$ 와 $m=o(n)$그런 다음 하한도 $Star(G)\geq (2+c)n$같은 결과를 가져올 것입니다. 우리가 지금까지 보여줄 수있는 최선은$Star(G)\geq 2n-1$.

허락하다 $Sym(G)$ 가장 작은 숫자이다 $t$ 서브셋이 존재하는 $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ 그리고 일련의 $t$ 같은 bicliques $(u,v)\in G$ 포함하는 bicliques의 수 $(u,v)$ 에 속한다 $T$. 다시 계산하면$Sym(G)\geq n/2$대부분의 그래프에 대해 그러나 Yao, Beigel 및 Tarui의 결과로$Sym(G)$ 보다 큰 $2^{poly(\ln\ln n)}$ 외부에서 부울 함수를 제공합니다. $ACC$. 경고 : "조합 적으로 복잡하다"는 것만으로는 크지 않습니다.$Sym(G)$: 강력한 램지 그래프가 있습니다. $Sym(G)=O(\log n)$하더라도 $T$ = 홀수 정수 세트.

이 모든 방법에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하십시오 .

Valiant의 고전적인 예가 있습니다 (참조는 모르겠지만 이것이 확장기 그래프에 대한 Hoory, Linial 및 Wigderson 책에 설명되어 있다고 생각 합니다 ). Valiant는 명시적인 하한을 보여주었습니다.$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ 회로가 없습니다 $O(n)$ 크기와 $O(\log n)$수심 집중 장치라고하는 특정 유형의 그래프가 존재하지 않는다는 가정하에 깊이-우리가 아직 증명하지 못한 것). (이것은 단지 하나의 그래프가 아니라 점근적인 질문이었습니다.) 그러나 그는 나중에 이것이 존재한다는 것을 보여주었습니다 (실제로 다른 용도가 있음).

특정 그래프가 아닌 그래프 패밀리에 대해 이야기하면 대답은 "예"입니다. 예를 들어, Mihail과 Vazirani는 모든 0/1 폴리 토폴 그래프가 좋은 또는 매우 좋은 가장자리 확장기라고 생각합니다.

이것이 사실이라면, Alon, Jerrum 및 Sinclair의 샘플링 전략을 통해 다수의 개방 조합 및 계수 문제에 대한 효율적인 무작위 Markov chain Monte Carlo 근사 알고리즘이 존재합니다.

비슷한 맥락에서, 패싯 수와 그래프의 수에서 다항식보다 직경이 빠르게 증가하는 다항식 그래프 패밀리가 존재하는 경우, 에지 추적 알고리즘을 통해 선형 프로그래밍을 다항식 시간으로 강하게 해결할 수 없습니다.

Anand Kulkarni의 의견 확장 :

다항식 시간으로 SAT를 인식하는 결정 론적 Turing machine M이 있다고 가정하십시오. 그러면 M의 유한 전이 관계가 함수가됩니다. 우리는 다항식 시간에 SAT를 인식하는 TM을 알고 있지만 그 전환 관계는 기능이 아닙니다. 전이 관계는 한이 분할의 튜플 (상태, 테이프 기호), 다른이 분할의 (상태, 테이프 기호, 이동) 튜플, 쌍에서 삼중으로 호를 갖는 이분법 지향 그래프입니다.

따라서 함수 인 이분법이 있다면 사소하게 P = NP입니다.

물론, 이것은 허용되는 상태에 도달하는 상태 공간의 모든 경로가 입력 크기의 다항식에 의해 제한되는 길이를 가져야한다는 요구 사항을 의미하는 보조 기계를 필요로하기 때문에 매우 자연스러운 정의는 아닙니다. Polytime-bounded Turing 머신을 나타내는 유한 그래프 세트가 어떻게 보이는지 또는 이러한 그래프에 흥미로운 그래프 이론적 특성이 있는지는 분명하지 않습니다.