역 산출과 계산에 서로 다른 자원을 요구하는 함수 클래스가 있습니까?

이 질문이 너무 간단한 경우 사전에 사과하십시오.

기본적으로 알고 싶은 것은 다음 속성을 가진 함수 가 있는지 여부입니다 $f(x)$.

가라 수 공역 도메인과이 제한되는 경우 비트 문자열. 그때F ( X ) $f_n(x)$$f(x)$$n$

1. $f_n(x)$ 는 주사입니다
2. $f_n(x)$ 는 의심 스럽다
3. $f_n(x)$ 는 보다 합리적인 모델에서 계산하는 데 필요한 리소스 (공간 / 시간 / 회로 깊이 / 게이트 수)가 여기서 .Y = F N ( X $f^{-1}_n(y)$$y=f_n(x)$
4. 대 f ^ {-1} (y) 의 리소스 차이 는 n의 함수가 엄격하게 증가함에 따라 확장됩니다 .F - 1 ( Y ) $f_n(x)$$f^{-1}(y)$$n$

함수가 의심 스럽거나 주입적인 예제를 생각해 낼 수 있지만, 계산 된 계산 모델에 의지하지 않는 한 둘다는 아닙니다. 일부 링에서 단위 시간의 왼쪽 시프트를 허용하지만 오른쪽 시프트는 허용하지 않는 계산 모델을 선택하면 선형 오버 헤드가 발생할 수 있습니다 (또는 더 복잡한 순열을 기본으로 고려하면 더 높습니다) . 이러한 이유로 나는 합리적인 모델에만 관심이 있는데, 이는 주로 튜링 머신 또는 NAND 회로 또는 이와 유사한 것을 의미합니다.

$P\neq NP$ 인 경우 분명히 이것이 맞아야 하지만 $P=NP$ 인 경우에도 가능할 것이므로 해당 질문을 결정해서는 안됩니다.

이 질문에 내가 놓친 답에 명백한 대답이나 명백한 장애물이있을 수 있습니다.

내 의견을 다시 게시하라는 요청을 받았습니다. 나는 Hastad가이 논문을 지적했는데, 에는 반전하기 위해 P-hard 인 순열이 있음을 보여줍니다 .$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)

전체 이진 기준에 대한 부울 회로의 경우 (복소수 측정 가 최소 회로의 게이트 수임) 순열 C에 대한 가장 잘 알려진 비율 ( f - 1$C(f)$입니다. 내가 아는 한,Hiltgen 은이작업에서 최고의 상수를 얻었으며2와 같습니다.$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

편집하다. 이 커질 때 비율이 증가하기를 원하지만 이것은 당신의 질문에 대답하지 않습니다. 그러나 전체 바이너리 기반의 부울 회로의 경우 더 잘 알려진 것이 없습니다.$n$

우선, 나는 함수 의 codomain 을 먼저 정의하지 않으면 서 surjectivity가 잘 정의되어 있지 않다는 것을 지적하고 싶었다 . 따라서 아래 설명에서 함수가 의심되는 공동 도메인을 명시 적으로 언급합니다.

불연속 로그 또는 RSA 함수는 모두 반전하기 어려운 것으로 추정되는 순열입니다. 아래에서는 이산 대수 함수를 설명하겠습니다.

하자 될 N 개의 비트 프라임 및 g는 곱셈 그룹을 생성 할 Z * P N . 정의 f를 N : Z의 P , N → Z의 P , N은 같은 F N ( X ) = g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$ .$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

그런 다음 은 귀하의 질문에 명시된 바와 같은 속성을 갖는 함수입니다 : 그것은 주입 형과 형용사 (codomain Z p n 이상 )이며 다항식 시간에서 계산 가능하지만 효율적인 알고리즘으로 f n 을 반전시킬 수는 없다고 추측 됩니다 평균.$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$