리니어 타임 인플레 이스 리플 셔플 알고리즘

리니어 타임 인플레 이스 리플 셔플 알고리즘이 있습니까? 이것은 특히 거대 손이 수행 할 수있는 알고리즘입니다. 균등 한 크기의 입력 배열을 균등하게 나누고 두 반쪽의 요소를 인터리빙합니다.

Mathworld에는 리플 셔플 에 대한 간단한 페이지가 있습니다. 특히, 입력 배열 1 2 3 4 5 6을 1 4 2 5 3 6으로 변환하는 셔플 아웃 다양성에 관심이 있습니다. 정의에서 입력 길이는 입니다.$2n$

크기 이상의 보조 배열이 있으면 선형 시간으로이 작업을 수행하는 것이 간단합니다. 먼저 마지막 요소를 배열에 복사하십시오 . 그런 다음 0 기반 색인화를 가정하면 첫 번째 요소를 색인 에서 복사하십시오 . 그런 다음 요소를 두 번째 배열에서 입력 배열로 다시 복사하여 인덱스 을 매핑 합니다. 입력의 첫 번째 요소와 마지막 요소는 움직이지 않기 때문에 그보다 약간 적은 작업을 수행 할 수 있습니다.n n [ 0 , 1 , 2 , … . . , n - 1 $n$$n$$n$$[0,1,2,...,n-1]$$[0, 2, 4,...,2n-2]$$n$$[0,1,2,...,n-1]$$[1,3,5,...,2n-1]$

이를 적절하게 수행하는 한 가지 방법은 순열을 분리 된 사이클로 분해 한 다음 각 사이클에 따라 요소를 재배 열하는 것입니다. 다시 0부터 시작하는 인덱싱을 가정 할 때, 6 가지 요소 사례에 관련된 순열은

$$\sigma=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 &3 \end{pmatrix}.$$

예상 한대로 첫 번째 요소와 마지막 요소는 고정 된 점이며 중간 4 개 요소를 순열하면 예상 결과를 얻습니다.

불행히도 순열 수학 (및 $\LaTeX$ ) 에 대한 나의 이해 는 대부분 위키 백과를 기반으로하며 이것이 선형 시간으로 이루어질 수 있는지 모르겠습니다. 이 셔플 링과 관련된 순열은 빠르게 분해 될 수 있습니까? 또한 완전한 분해가 필요하지 않습니다. 각 분리 된 사이클의 단일 요소를 결정하는 것만으로도 충분할 것입니다. 요소 중 하나에서주기를 재구성 할 수 있기 때문입니다. 완전히 다른 접근법이 필요할 수 있습니다.

관련 수학에 대한 유용한 자료는 알고리즘만큼이나 가치가 있습니다. 감사!

이 문제는 놀라 울 정도로 사소한 문제입니다. 다음은 Perfect Shuffle (섹션 7)을 통해 Ellis와 Markov, In-Situ, Stable Merging 의 훌륭한 솔루션 입니다. 완벽한 셔플 순열에서주기를 계산하는 Ellis, Krahn 및 Fan 은 더 많은 메모리를 희생하면서 "주기 리더"를 선택하는 데 성공했습니다. 또한 FICH, 먼로와 포블 렛에 의한 좋은 종이이다 관련 치환하는 장소에서 일반 준다 신탁 모델 시간 알고리즘. 순열에 대한 오라클 만 사용 가능한 경우 알고리즘에 로그 공간이 필요합니다. 만약 우리가 역의 오라클을 가지고 있다면, 그것은 일정한 공간을 필요로합니다.$O(n\log n)$

이제 Ellis와 Markov의 솔루션입니다. 먼저 라고 가정하십시오 . 그런 다음 차수 n 의 완벽한 셔플을 계산하면 차수 x 와 y 의 완벽한 셔플을 계산하는 것으로 줄어 듭니다 . 예를 들어 증명은 다음과 같습니다 ( n = 5 , x = 3 , y = 2 ) : 012 345 67 89 012 567 34 89 051627 $n = x+y$$n$$x$$y$$n=5$$x=3$$y=2$

$$\begin{array}{cc} 012\mathbf{345} & \mathbf{67}89 \\ 012\mathbf{567} & \mathbf{34}89 \\ 051627 & 3849 \end{array}$$

Ellis와 Markov는 일정한 공간과 선형 시간을 사용하여 일 때 완벽한 셔플을 계산하는 쉬운 방법을 찾았 습니다. 이를 사용하여 임의의 n에 대한 완벽한 셔플을 계산하는 알고리즘을 얻습니다 . 우선, 기록 , N = 2 K 0 + ⋯ + 2 K w 의 바이너리 인코딩을 사용하여 N을 하고하자 N 난 = 2 k 개의 I + ⋯ + 2 K w를 . 회전 중간 N 0 비트 우측 셔플 2 $n=2^k$$n$$n = 2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}$$n$$n_i = 2^{k_i} + \cdots + 2^{k_w}$$n_0$ 비트 오른쪽을 무시2 K 0 비트, 중간 회전N을1 개비트를, 그리고 오른쪽을 셔플2 K 1 비트. 등등. 처음 몇 개의 요소가 회전하면 사이클 리더로 기능하기 때문에 회전이 쉽습니다. 회전의 총 복잡도는O(n은0+⋯+Nw)=O(N), 사람N의 t + 1 <Nt/2. 내부 셔플의 총 복잡도는O$2^{k_0}$$2^{k_0}$$n_1$$2^{k_1}$$O(n_0 + \cdots + n_w) = O(n)$$n_{t+1} < n_t/2$ .$O(2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}) = O(n)$

때 완벽한 셔플을 계산하는 방법을 보여줍니다 . 실제로 목걸이 (Fredricksen 및 Maiorana, k 색상 의 비드 목걸이 및 k- ary de Bruijn 시퀀스 , Fredricksen 및 Kessler, 두 가지 색상의 비드 목걸이 생성 알고리즘)에 대한 고전적인 작업에 따라 사이클 리더를 식별 할 수 있습니다 . ).$n=2^k$$k$$k$

연결은 무엇입니까? 셔플 순열은 이진 표현의 오른쪽 이동에 해당한다고 주장합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. : 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 001 101 010 110 011 111 따라서 사이클 리더를 찾으려면 회전의 각 등가 클래스에서 하나의 대표자를 찾아야합니다. 길이가 k 인 이진 문자열 . 위에서 언급 한 논문은 모든 사이클 리더 를 생성하는 다음 알고리즘을 제공합니다 . 시작 0 $n=8$

$$\begin{array}{cccccccc} 000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \\ 000 & 100 & 001 & 101 & 010 & 110 & 011 & 111 \end{array}$$ $k$$0^k$. 각 단계에서, 우리는 어느 시점에서 입니다. 최대 인덱스 찾기 나 제로 비트 나눗셈의 K를 하여 제가 수득 케이 = D ⋅ 난 + R , 다음과 같은 점하자 ( 1 ... A는 I - 1 1 ) 거라고 1 개 ... R을 . r = 0 일 때마다 새 문자열은 사이클 리더입니다.$a_1 \ldots a_k$$i$$k$$i$$k = d\cdot i + r$$(a_1\ldots a_{i-1}1)^d a_1\ldots a_r$$r = 0$

예를 들어, 경우 시퀀스 0000 , 0001 , 0010 , 0011 , 0101 , 0110 , 0111 , 1111이 생성$n=16$

$$\mathbf{0000}, \mathbf{0001}, 0010, \mathbf{0011}, \mathbf{0101}, 0110, \mathbf{0111}, \mathbf{1111}.$$

사이클 리더가 강조 표시됩니다.

이것은 cs.stackexchange.com의 시드 질문이며 대답은 다음과 같습니다. /cs/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400

이 문서에 대한 설명은 http://arxiv.org/abs/0805.1598 입니다.

$k$$2$$k$$3^2$$k=2$

그 대답은 순열 다룬다는 점에 유의하십시오.$j \to 2j \mod 2n+1$

$m$$n = m-2$$i$$f(i) = 2\cdot i$$i \leq n/2$$f(i) = 2 \cdot (i \mod n/2) - 1$$i > n/2$

$O(1)$$O(\log n)$