원샷 양자 타격 시간

논문에서 Quantum Random Walks Exponentially Faster ( arXiv : quant-ph / 0205083 ) Kempe는 퀀텀 워크 (Quantum Walk) 문헌에서별로 인기가없는 퀀텀 워크 ( 하이 큐브)에 대한 히트 시간에 대한 개념을 제공합니다. 다음과 같이 정의됩니다.

명중 한 샷 양자 시간 : 이산 시간 양자 거리가있다 $(T,p)$ 원샷 $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ -hitting 시간의 경우를 $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ 여기서 $|\Psi_0\rangle$ 초기 상태입니다 $|\Psi^f\rangle$ 목표 상태이고, $p>0$ 타격 확률입니다.

일반적으로 p > 0 과 같은 최소 를 알고 싶습니다 . 보행 중에 측정을 수행해야 할 때 평균 타격 시간의 개념을 정의하는 것은 불가능합니다 (내가 틀렸다면 정정하십시오). 이것이 우리가 원샷 개념을 갖는 이유입니다. 같은 연구에서 양자 라우팅에 대한 응용이있다 ( 섹션 5 참조 ).$T$$p>0$

보행이 대상 정점에 도달했음을 알기 위해서는 해당 노드에서만 측정해야합니다. 예를 들어,에 $n$ 과 차원 하이퍼 큐브 $2^n$ 노드는 노드에서 시작하는 경우 $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ 및 대상 노드로이 $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ 용지 방송이 $T=O(n)$ 제한된 오류 확률, 즉 $p\to 1$ 로서 $n$매우 커집니다. 따라서 도보가 도착한 것을 감지하기 위해 $|11\dots11\rangle$ 당신은 후에 측정 할 $\Omega(n)$ 단계를. 이것은 기하 급수적 인 속도 향상입니다.

질문 :

1. 이러한 타격 시간 개념을 검색에 사용하려면 최소한 측정 대상을 언제 적용해야하는지 알기 때문에 원점에서 목표 정점의 거리를 알아야합니다. 그래프 가 있고 초기 정점 v 0 으로 설정 했다고 가정 해 봅시다.$G$$v_0$ 에 도달하고 싶다고 . 또한 가정 즉 T = O ( D 나 S t ( V 0 , V F ) ) 및 P ≥ 1 / 2 . 글쎄, $v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$$T$도달하기 위해서는 최소한 많은 단계가 필요하기 때문에 분명합니다. 이 검색 시간을 검색에 사용하는 것이 의미가 있습니까? 노드가 어디에 있는지 검색하는 데 의미가 없지만 "시작 정점으로부터의 거리"와 같은 정보를 가지고 있지만 목표가 어디에 있는지 정확히 알지 못하는 경우 시간을 치는 이러한 개념은 흥미를 유발합니다 (연구 할 가치) ) 검색 알고리즘?

2. 퀀텀 라우팅에 대한 애플리케이션이 의미가 있습니까? 이 백서에서는 패키지 라우팅에 사용할 수 있다고 말하지만 목적지에 도착했는지 여부와 같이 1 비트 만 보낼 수 있다고 생각합니다. 이 프레임 워크에서 실제로 양자 상태를 보낼 수 있습니까? 이 백서에서는이 문제를 다루지 않습니다.

3. 이것은 어리석은 질문 일지 모르지만 여기에 있습니다. "일반화 된 Mach-Zender 간섭계"를 구성하기 위해 이러한 타격 시간 개념을 사용할 수 있습니까?

나는 양자 보행에 대한 타격 시간의 다른 개념을 알고 있습니다 ( Szegedy 또는 Ambainis 와 같은 ). 특히이 특정 타격 시간에 관심이 있습니다.

업데이트 (2010 년 9 월 24 일) : Joe Fitzsimons 덕분에 2 번과 3 번 문제에 대한 답이 완전히있었습니다. 질문 1은 여전히 ​​남아 있지만. 먼저 Joe가 나에게 추천 한 논문과 몇 가지를 더 읽은 후 (예를 들어 arXiv : 0802.1224 참조) 이제 질문 2를보다 구체적인 용어로 다시 언급 한 다음, 내가 생각하고있는 것에 대한 구체적인 예를 들어 보겠습니다 질문 1

2 '. 구체적인 메시지 (예 : 일련의 클래식 비트)를 전송하는 경우에는 보행 단계에서이 정보를 복사하는보다 복잡한 유니 터리를 사용할 수 있습니다. 양자 상태를 보내려면 더 많은 것이 필요합니다. 스핀 체인 채널은 고정 커플 링이있는 선형 큐 비트 배열을 사용합니다. 한 쪽에서 전송하려는 상태 (순수한 상태, 혼합 상태에서 작동하는지 알 수 없음)를 넣을 수 있으며 수치 결과에 따라 충실하게 다른 쪽 끝으로 이동합니다. 나는 여전히 더 많은 생각을해야하지만 두 가지 아이디어가 있습니다 .i) 그래프의 각 링크에 체인을 놓거나 ii) 걷기, 목표 상태를 찾은 다음 초기 상태와 목표 사이의 채널을 만든 다음 보내기 상태. 이러한 접근법 중 어느 것이 그럴듯합니까? 혼합 상태에서 작동합니까?

1'. 있는 원점을 중심으로 2 차원 그리드를 걷습니다.$n$$\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

$dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n\log n})$$\sqrt{n\log n}$

이 백서에 익숙하지는 않지만, 엉뚱한 탈지면 후 각 질문에 대략적인 답변을하려고 노력할 것입니다.

1. Grover의 알고리즘은 실제로 이러한 타격 시간 개념으로 볼 수 있습니다. 시스템 측정시기를 결정해야하며, T가 모든 결과에 대해 일정하더라도 계산하는 것이 중요합니다. 여기서 T는 확실히 O 가 아닙니다 ( dist ( v 0 , v f )$O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$이므로T=O(dist(v$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. 저자는 무작위 보행을 위해 전체 패킷을 가져 가고 있다고 가정합니다. 분명히 이것은 다소 복잡한 통합이 필요하지만 실제로 문제는 보이지 않습니다. 또는 Burgarth와 Bose는 동일한 그래프에서 정보를 인코딩하는 매우 좋은 체계를 가지고 있습니다. 이는 1d 체인을 선택한 네트워크로 간단히 바꾸면 작동 합니다 ( quant-ph / 0406112 ).
3. 글쎄, 당신은 시간을 치는 이러한 개념이 필요하지 않습니다. 하이퍼 큐브는 완벽한 상태 전송 (예 : quant-ph / 0309131 및 quant-ph / 0411020 참조 )을 가지므로 하이퍼 큐브에서의 전송을 2d 경우에 해당하는 Mach-Zender 간섭계와의 간섭계로 볼 수 있습니다.

업데이트 : (격자 또는 다른 격자의 무작위 보행과 관련하여 업데이트 된 질문에 대답하기 위해)

$v_t$$v^f$

질문 1과 관련하여, 하이퍼 큐브에서 알려지지 않은 타겟 정점과 알려진 오리진 정점 사이의 거리를 알면 검색 프로세스에 도움이 될 수 있습니다. 그러나 거리 자체의 값에 따라이 정보가 얼마나 유용한 지 결정됩니다.

일반적인 양자 보행 알고리즘은 일반적으로 Grover 검색의 변형 / 근사치입니다. 이는 전체 힐버트 공간의 2 차원 부분 공간에서 상태 벡터의 대략적인 회전을 포함합니다.

이 알고리즘을 사용하여 원점으로부터 주어진 거리에서 모든 정점의 대략 균일 한 중첩을 효율적으로 준비 할 수 있습니다. 그런 다음 양자 또는 클래식 (Monte Carlo) 검색을 사용하여이 중첩 내에서 대상 정점을 검색 할 수 있습니다. 클래식 검색의 경우 중첩을 준비하고 정점 기준으로 측정하고 대상을 찾을 때까지 반복하십시오. 양자 검색의 경우 중첩 준비 절차 (및 그 역)는 그로버 반복에서하다 마드 변환을 대체하는 서브 루틴이됩니다.

$n$$d$$\binom{n}{d}$$\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$$\approx n/2$