어떤 상황에서

그 가정, 각 , 튜링 기계가 M의 ε 언어 결정 L 시간에 O ( N +의 ε을 ) . 시간 O ( n a + o ( 1 ) ) 에서 L 을 결정하는 단일 알고리즘이 있습니까? (여기서, o ( 1 ) 항은 입력 길이 인 n으로 측정됩니다 .)$\epsilon > 0$$M_{\epsilon}$$L$$O(n^{a + \epsilon})$$L$$O(n^{a + o(1)})$$o(1)$$n$

알고리즘 이 ϵ 측면에서 계산 가능하거나 효율적으로 계산 가능 하다면 차이가 있습니까?$M_{\epsilon}$$\epsilon$

동기 부여 : 많은 증거 에서 제한 알고리즘 O ( n a + o ( 1 ) ) 보다 시간 알고리즘을 구성하는 것이 더 쉽습니다 . 특히, 한계 O ( n a + o ( 1 ) ) 에 전달 하려면 상수 항을 O ( n a + ϵ ) 로 묶어야 합니다. 한계에 직접 전달하기 위해 호출 할 수있는 일반적인 결과가 있다면 좋을 것입니다.$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a + o(1)})$$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a+o(1)})$

이 질문은 일련의 (구성 적) 객체 제한의 건설적인 존재에 관한 질문과 유사합니다. 일반적으로 이러한 객체 (여기서는 )를 효율적으로 균일하게 구성 할 수 있다면 한계의 존재를 건설적으로 보여줄 수 있습니다.$M\epsilon$

예를 들어, 우리가 가지고 있다고 가정합니다 TM 실행 M을 | k | - 1 에서 X 와 그 실행 시간 것은 O ( N + | K | - 1 ) + O ( | K | ) 여기에 경계는 예를 들어, 또한 같은 균일 ( O ( 2 K . N + | K | - 1$N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$작동하지 않습니다). 그런 다음이 균일 한 시뮬레이터를 함수와 결합하여 시간 O ( n a + o ( 1 ) ) 에서 실행 되는 기계 N ( x , x ) 을 얻을 수 있습니다.$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

추신 : 는 점근 적 표기법의 중첩으로 인해 약간 모호합니다. 나는 그것을 n a + o ( 1 ) 로 해석하고 있습니다. 또한 우리는 필요 A가 너무 작은, 예를 들어 적어도 수 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Levin의 범용 검색 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 어떻게 든 알고리즘 시퀀스 열거 할 수 있다고 가정 K 결정 L을 각각의 시간에서 실행되는, C의 K N + 1 / K . Levin의 알고리즘은 매 k 마다 시간 T ( n ) ≤ D k n a + 1 / k 에서 실행되며 , 여기서 D k 는 C k 에 따라 상수 입니다. 따라서 모든 k , τ ( n ) ≜$A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$$T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ 감안ε>0을선택K=⌈2/ε⌉및하게N을=⌈D 2 / ε K ⌉. 그런 다음n≥N의경우τ(n)≤ϵ입니다. 따라서τ(n)→0이고 Levin의 알고리즘은 시간na+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$