종속 유형이있는 시스템에서 유형이 거주하지 않음을 표시하는 방법 (즉, 공식을 입증 할 수 없음)?

Hindley-Milner 유형 시스템과 같이 종속 유형이없는 시스템의 경우 유형은 직관적 논리의 공식에 해당합니다. 거기에서 우리는 모델이 Heyting 대수라는 것을 알고 있으며, 특히 공식을 반증하기 위해 각 공식이 하위 집합으로 표현되는 하나의 Heyting 대수로 제한 할 수 있습니다 .$\mathbb{R}$

예를 들어, 에 거주하지 않음 을 표시하려면 다음을 정의 하여 수식에서 하위 집합을 열 도록 매핑 를 구성합니다 . 그리고 이것은 우리가 참이 아닌 모델을 가지고 있기 때문에 (또는 Curry-Howard isomorphism에 의해) 유형에 거주 할 수 없기 때문에 원래 공식을 증명할 수 없음을 나타냅니다.ϕ R ϕ ( α $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$$\phi$$\mathbb{R}$ϕ ( α → ⊥

$$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$$ $$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$$

또 다른 가능성은 Kriepke 프레임 을 사용하는 것 입니다.

---

종속 유형이있는 시스템에 대해 비슷한 방법이 있습니까? Heyting 대수 또는 Kripke 프레임의 일반화처럼?

참고 : 나는 의사 결정 절차를 요구하지 않고 있습니다. 나는 공식의 실현 가능성을 목격 할 수있는 메커니즘을 요구하고 있습니다-누군가에게 그것이 불가능하다는 것을 설득합니다.

공식이 입증 될 수 없다는 것은 본질적으로 두 가지 방식으로 수행 될 수 있습니다. 운이 좋으면 우리는 형식 이론 내에서 공식이 이미 입증 할 수없는 것으로 알려진 것을 암시 할 수 있습니다. 다른 방법은 수식이 유효하지 않은 모델을 찾는 것이므로 매우 어려울 수 있습니다. 예를 들어, 신원 증명의 고유성을 최초로 무효화 한 종속 유형 이론 의 그룹 형 모델 을 찾는 데 시간이 오래 걸렸습니다 .

"종속적 유형 이론의 모델은 무엇입니까?"라는 질문 다소 복잡한 답변이 있습니다. 특정 대체 속성을 무시하면 모델은 로컬 직교 닫힌 카테고리 이며 가장 간단한 답일 수 있습니다. "실제"모델을 원하는 경우 몇 가지 옵션이 있습니다 . 종속 유형 이론의 범주 모델 에 대한 nLab 페이지를 참조하십시오 . 어쨌든 종속 유형 이론은 상당히 복잡한 공식 시스템이기 때문에 대답은 항상 약간 복잡합니다.

주제에 대해 단 하나의 기사 만 제안한다면 Robert Seely의 "로컬 직교 폐쇄 범주 및 유형 이론" 원본 논문을 추천 할 것입니다 . 내가 다른 일을 제안한다면, 아마 예를 들어 실리의 논문, 마틴 호프만의 수정에 필요한 사항을 설명하고 하나가 될 것 "로컬 직교 청산 카테고리를 입력 이론의 해석에" .

이 분야에서 최근에 중요한 발전은 호모 토피 이론적 모델이 또한 종속 유형 이론의 모델이라는 사실이다 . homotopytypetheory.org 참고 문헌 참조 . 이것은 많은 가능성을 제공하지만, 이제 모델에 손을 대려면 호모 토피 이론을 배워야합니다.