정점 전이 그래프 인식의 복잡성

나는 그룹과 관련된 복잡성 이론 분야에 대해 잘 알지 못하므로 이것이 잘 알려진 결과인지 사과드립니다.

문제 1. 를 순서 n 의 간단한 무 방향 그래프라고 하자 . G 가 꼭짓점 전이 인지 결정 하는 계산 복잡도 ( n의 관점에서 )는 무엇입니까?$G$$n$$n$$G$

그래프 리콜 것을 인 정점 전이 경우 U t ( G ) 에 작용하는 중간 적 V ( G ) $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

위의 정의가 다항식 시간 알고리즘을 허용하는지 확실하지 않습니다. 의 순서 가 지수 일 수 있기 때문 입니다.$\mathrm{Aut}(G)$

그러나 정점 전이 그래프에는 효율적으로 그래프를 결정하기 위해 악용 될 수있는 다른 구조적 특성이 있으므로 위의 질문의 상태가 확실하지 않습니다.

더 많은 구조를 가진 정점 전이 그래프의 또 다른 흥미로운 하위 클래스는 Cayley 그래프 클래스입니다 . 따라서 다음과 같은 관련 질문을 제기하는 것이 당연합니다.

질문 2. 그래프 가 Cayley 그래프 인지 결정하는 계산의 복잡성은 무엇입니까 ?$G$

나는 완전한 답을 얻지 못했지만 두 가지 문제가 모두 열려 있다고 생각합니다.

Jajcay, Malnič, Marušič [3]의 논문은 첫 번째 질문과 관련이 있습니다. 정점 과도를 테스트하기위한 도구를 제공합니다. 그들은 소개에서 다음과 같이 말합니다.

주어진 유한 그래프 , Γ 가 정점 전이 인지 여부를 결정하기가 어렵고 궁극적 인 대답은 일반적으로 Γ 의 완전한 이형성 그룹의 상당 부분 이 결정된 후에 만 발생합니다 .$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

정점-과도 성 테스트는 그래프 동형을 번 테스트하여 수행 할 수 있습니다 . 확인이 개 사본 G 와 G ' 특별 앵커 (길이의 경로처럼 그래프, N + 1 에서) 유 ∈ V ( G ) 및 V ∈ V ( G ' ) . 원래 그래프에 u 에 v 가있는 자기 변형 매핑이있는 경우에만 G 와 G ' 사이에 동형이 있습니다 . 따라서 정점을 수정하여 정점-태도를 테스트 할 수 있습니다$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$ 를 확인하고 x 를 다른 모든 정점에매핑하는 자동 변형이 있는지 확인하십시오.$x$$x$

또한 다항식 시간으로 정점 전이 테스트를 수행 할 수 있다면 정점 전이 그래프에 대한 동형 테스트도 수행됩니다. 이는 두 개의 정점 전이 그래프가 분리 결합이 정점 전이 인 경우에만 동형이기 때문입니다. 정점 전이 그래프에 대한 그래프 동형의 복잡성은 알려져 있지 않다고 생각합니다.

두 번째 질문에서는 부분적인 결과를 찾았습니다. 순환 그래프는 순환 그룹에 케일리 그래프이다. Evdokimov와 Ponomarenko [2]는 순환 그래프의 인식이 다항식 시간에 수행 될 수 있음을 보여준다. Alspach [1, Chapter 6 : Cayley graphs, Section 6.2 : Recognition]의 책 장도 다음과 같이 흥미 롭습니다.

우리는 임의의 그래프가 Cayley 그래프인지를 인식하는 계산 문제를 무시할 것입니다. 대신, 우리는 항상 Cayley 그래프가 연결 세트와 함께 생성 된 그룹의 관점에서 설명되었다고 가정합니다. 대부분의 문제에서 이것은 단점이 아닙니다.

1. 베이 네케, 윌슨, 카메론 대수 그래프 이론의 주제 . 케임브리지 대학 출판부, 2004.
2. Evdokimov, 포노 마렌 코. 순환 그래프 : 다항식 시간의 인식 및 동형 테스트. 상트 페테르부르크 수학. J. 15 (2004) 813-835. 도 : 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, 마루시 치. 정점 전이 그래프의 닫힌 보행 수. 이산 수학. 307 (2007) 484-493. 도 : 10.1016 / j.disc.2005.09.039