최소 고정 소수점 논리 이해

논문을 더 잘 이해하기 위해 최소 고정 점 논리에 대해 간략히 이해하려고합니다. 내가 붙어있는 몇 가지 포인트가 있습니다.

경우 그래프이고$G = (V,E)$

이진 관계 의 연산자입니다 . 최소한의 고정 소수점 왜 이해가 안 돼요 의 의 전이 폐쇄입니다 . 이 예는 유한 모형 이론 및 그 응용 (p. 60) 에서 발췌 한 것입니다 .$P$$P^*$$P$$E$

최소 고정 포인터 연산자로 1 차 논리를 확장 할 때 관계 기호 가 수식에서 양수 여야 하는 이유를 이해하지 못합니다 . 양수 는 수식에서 모든 발생이 짝수 개의 부정 기호 내에 있음을 의미합니다 .$S_i$$S_i$

누구든지 최소한 고정 포인터 포인터 논리와 구문 및 의미를 직관적으로 이해하기 위해 읽을만한 것이 무엇인지 알고 있습니까?

최소 고정 소수점 개념에 문제가있는 경우 좀 더 일반적인 순서 이론의 배경을 얻는 데 시간을 투자하는 것이 좋습니다.

Davey and Priestley, Lattices and Order 소개는 좋은 소개입니다.

전이 폐쇄가 왜 고정 점이 가장 적은지 보려면 한 번에 한 단계 씩 논리 수식을 적용하여 빈 세트에서 폐쇄를 구성하는 것을 상상해보십시오. 공식을 사용하여 새 모서리를 추가 할 수 없으면 고정 점이 가장 낮아집니다.

공식이 양수 여야한다는 요건은 공정이 단조롭다는 것을 보장합니다. 즉, 각 단계에서 성장합니다. 하위 하위 수식이있는 경우 일부 단계에서 가장자리 집합이 줄어들고 LFP에 수렴하지 않고 종료되지 않는 진동을 발생시킬 수 있습니다.

유한 집합 집합에서 집합 포함 순서대로 형성된 부울 대수를 고려하십시오 . 이제 에 의해 정의 된 연산자 고려하십시오.$S$$P$

분명히 는 긍정적이지 않은 연산자입니다.$P$

1. 와 같이 고정 된 점 가 없음을 보여줍니다 . 결과적으로$\mu P$$P(\mu P) = \mu P$$\mu X.\;P(X)$ 를 잘 정의 할 수 없다는 수 있습니다.

2. Knaster-Tarksi 정리를 직접 증명하십시오. 즉, 완전한 격자가 있다면$L$및 모노톤 기능 $f : L \to L$그런 다음 고정 점 세트 $f$완전한 격자를 형성합니다. (결과로서,$f$ 이 증거는 매우 짧지 만 처음 보았을 때 약간의 헤드 스크래퍼이며 $f$ 논쟁에 중요하다.

3. 자유 변수가있는 표현식으로 정의 된 모든 연산자를 스스로 증명하십시오. $X$긍정적으로 만 일어나는 것은 모노톤입니다. 따라서 긍정적 인 발생은 단조 로움을 강화하기에 충분한 구문 조건입니다.

직관을 실제로 내재화하기 위해 이러한 증거를 스스로 대신 할 수있는 방법이 없다는 것을 알았습니다.

이것은 매우 오래된 게시물이므로 원하는대로 이미 답변을 받았을 수도 있습니다. 지난 몇 달 동안 FO (LFP)를 공부 한 이후. 필요한 답변을 이해하고 있습니다.

양성의 요구 사항에 답하기 위해서는 수식이 모노톤 연산자를 캡처하는지 여부를 테스트하는 것이 유한 모델과 무한 ​​모델 모두에서 결정 불가능하다는 사실이 필요합니다. 모노톤 연산자를 캡처하는 수식은 무엇을 의미합니까? FO를 작성한다고 가정하십시오.$[\sigma$] 무료 2 차 변수가있는 공식 $\phi(\vec{x},X)$, 어디 $|\vec{x}|=ar(X)$그러면 해당 연산자를 정의 할 수 있습니다 $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ 여기서 ar (X)는 2 차 변수의 arity이고 A는 $\sigma$-구조 $\mathbb{A}$ 과 $\mathcal{P}(Z)$ 세트 Z의 파워 세트입니다. $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. 이 연산자가 모노톤이라면 위의 답변에서 언급 한 knaster tarski의 고정 소수점 정리에 따라 유한 및 무한 구조 모두에서 고정 점을 쉽게 캡처 할 수 있습니다. 그러나 문제는 위와 같은 형식으로 작성된 수식이 모노톤 연산자를 인코딩하는지 여부를 테스트하는 것이므로 다음으로 가장 좋은 것을 얻을 필요가 있습니다. 2 차 자유 변수의 양성은이 현상을 증명하는 표준 구조적 유도 인 단 조성 요구 사항이 충족되도록 보장합니다. 질문은 충분합니까?

그것에 대해, 나는 아직도 읽고 있기 때문에 아직 확실한 대답이 없습니다. 이 앞면의 논문을 가리킬 수 있습니다. 내가 여기서 언급 한 아이디어를 설명하는 적어도 하나는 논문, Monotone vs Positive -Ajtai, Gurevich의 것입니다. 또한 Gurevich와 Shelah가 정의한 1 차 논리의 고정 소수점 확장이라는 또 다른 논문 에 대해서는 포지티브 수식에 적용 할 때 고정 소수점 연산자가 임의의 모노톤 수식에 대해 수행되는 응용 프로그램과 비교할 때 표현력을 잃지 않는다고 말합니다.